| Théorie de la combinaison des systèmes sphéro-cylindriques minces, accolés et centrés J.Hormière / 1992 (adapté HTML en 2000) |
| 1. Rappels 1.1 Verres et combinaisons astigmates Les verres ophtalmiques qui compensent l'astigmatisme de l'œil sont généralement de forme sphéro-torique (la forme sphéro-cylindrique n'est utilisée que dans des cas très particuliers). Pour la commodité, on les appellera verres astigmates. Sur des lunettes d'essai, ils sont simulés par des associations de verres bi-sphériques et de verres plan-cylindriques. Comme ces verres d'essai ont de petits diamètres, ils peuvent être assimilés à des verres minces, et comme par ailleurs les drageoirs qui les maintiennent en place sur un même cercle sont juxtaposés et coaxiaux, ils peuvent être considérés accolés et centrés. 1.2 Méridiens et vergence oblique Un plan méridien d'un verre est un plan qui passe par son axe optique. Un méridien est l'intersection de ce plan avec une surface du verre ; dans le cas d'un verre ophtalmique monté, c'est la surface du dioptre avant qui est prise en compte. Le méridien est caractérisé par un angle u, défini par rapport à une direction horizontale. Pour un verre astigmate, la vergence* varie avec l'angle u. Elle passe par deux extremums qui correspondent aux méridiens principaux. Ces méridiens principaux sont perpendiculaires et leurs directions sont notées a et a + 90. La variation de vergence* du verre en fonction de u peut être approximée par une variation sinusoïdale : (1) D(u) = Da.cos2(u - a) + Da + 90.cos2(u - a - 90) (1') D(u) = Da.cos2(u - a) + Db.sin2(u - a) Da et Db sont les deux vergences principales du verre, dans les méridiens principaux a et b . * Remarque : La notion de vergence oblique, ou de vergence dans un méridien non principal, fait sauter quelques collègues au plafond. Ils arguent du fait (reprenant sous une autre forme ce qu'avait écrit Yves Le Grand dans son Optique physiologique, Tome 1, page 150) que, sur un frontofocomètre, on ne peut mesurer que les vergences principales d'un verre astigmate. C'est bien vrai ! Mais cela revient à donner de la vergence une définition simplement pratique, car cette vergence serait nécessairement associée à une mesure qui consiste à rechercher quelque chose de net dans l'image d'un test (focale de Sturm d'un faisceau astigmate, qui peut nous apparaître comme un segment, mais n'est en réalité, lorsqu'on y regarde de plus près, qu'une surface quelque peu biscornue). Or, rien n'empêche, en Physique, de développer des calculs mathématiques cohérents avec des grandeurs qui n'ont pas toujours de traduction pratique. La vergence oblique est ainsi une notion théoriquement pratique et non pas une notion pratiquement pratique. C'est un intermédiaire de calcul, qu'il faut saisir à sa juste valeur, c'est-à-dire son efficacité dans l'étude de la combinaison des cylindres (voir ce qui suit). 1.3 Représentation sphéro-cylindrique et bi-cylindrique d'un verre astigmate Cette variation sinusoïdale peut être simulée d'une infinité de façons, en associant (ou combinant, symbole Å) des verres minces, accolés et centrés, bi-sphériques et plan-cylindriques. Les trois associations les plus simples sont :
Considérons par exemple un verre mince astigmate de vergences principales : + 3,25 d à 30° + 5,75 d à 120° Les trois solutions seront :
Pour tout méridien u, (2) D(u) = D1(u) + D2(u), et donc aussi pour les méridiens principaux. 1.4 Transposition Les deux solutions sphéro-cylindriques (1 & 2) sont dites transposées l'une de l'autre. De façon générale, la transposée de la formule S ( C ) a est S' ( C' ) a', telle que : (3) S' = S + C ; C' = - C ; a' = a + 90° 2. Calcul de la combinaison 2.1 Règles de calcul Supposons que les représentations sphéro-cylindriques de deux verres soient : D1 = S1 ( C1 ) a1 D2 = S2 ( C2 ) a2 La combinaison des deux verres sera : (4) S1 ( C1 ) a1 Å S2 ( C2 ) a2 Elle est équivalente à : S1 Å ( C1 ) a1 Å S2 Å ( C2 ) a2 et, pour des raisons évidentes de commutativité et d'associativité (l'ordre des verres accolés n'importe pas), à : (4') [ S1 Å S2 ] Å [ ( C1 ) a1 Å ( C2 ) a2 ] On a réalisé la séparation des sphères et des cylindres. Les sphères s'additionnent simplement. Pour la combinaison des cylindres on peut utiliser diverses méthodes de calcul, ou vectorielles. C'est la méthode de calcul par dérivation qui sera choisie ici. 2.2 Combinaison de cylindres Comme il a été vu plus haut, la vergence oblique d'un verre astigmate varie sinusoïdalement en fonction de l'angle u du méridien considéré. La période de cette sinusoïde est égale à 180°, car un verre astigmate est invariant pour une rotation au tour de son axe optique de 180°. Quand on accole (ou superpose, ou additionne, ou combine) plusieurs verres plan-cylindriques minces, leurs vergences obliques, fonctions sinusoïdales de même période 180° s'additionnent (voir la relation de Gullstrand) ; le résultat est une fonction sinusoïdale de même période. Cette fonction, mise sous la forme Da.cos2(u - a) + Db.sin2(u - a), donne les vergences principales Da et Db du système astigmate équivalent, et donc par conséquent, la formule sphéro-cylindrique de l'association des verres. Soit à résoudre (5) ( C1 ) a1 Å ( C2 ) a2 º S ( C ) a Un verre plan-cylindrique ( Ci )ai a une vergence nulle suivant l'axe de son cylindre ai et une vergence égale à la valeur du cylindre Ci dans son contraxe bi = ai + 90°. Pour un méridien u quelconque, sa vergence oblique est : (6) D(u) = Ci sin2(u - ai) Pour la combinaison des deux cylindres, (7) D(u) = C1 sin2(u - a1) + C2 sin2(u - a2) Les vergences des méridiens principaux sont des extremums de la fonction D(u). On les obtient en annulant la dérivée de cette fonction : (8) dD / du = 0 dD / du = 2 C1.sin(u - a1).cos(u - a1) + 2 C2.sin(u - a2).cos(u - a2) = C1.sin(2(u - a1)) + C2.sin(2(u - a2)) = C1 (sin2u cos2a1 - sin2a1.cos2u) + C2 (sin2u cos2a2 - sin2a2.cos2u) = 0 d'où : (9) tan2u = tan2a = (C1 sin2a1 + C2 sin2a2) / (C1 cos2a1 + C2 cos2a2) Sur le méridien a, (10) Da = C1 sin2(a - a1) + C2 sin2(a -a2) et sur le méridien b, (11) Db = C1 cos2(a - a1) + C2 cos2(a -a2) Il découle des deux formules précédentes et de la première des formules (3) que : (12) Da + Db = C1 + C2, car cos2x + sin2x = 1. La somme des vergences principales est égale à la somme des cylindres. Avec la première formule (3), S + C + S = C1 + C2 donne la sphère équivalente : (13) S = (C1 + C2 - C) / 2 (14) Db - Da = S + C - S = C La différence des vergences principales est égale au cylindre résultant. En développant l'expression précédente : C = Db - Da = C1 (cos2(a - a1) - sin2(a - a1) + C2 (cos2(a - a2) - sin2(a - a2) et en linéarisant les cosinus, cos2x - sin2x= cos2x, on obtient : (15) C = C1 cos 2(a - a1) + C2 cos 2(a - a2) Le calcul, dans l'ordre, des formules (9), (15) et (13), donne la solution S ( C ) a de la combinaison de cylindres. Dans le cas d'une combinaison de formules sphéro-cylindriques complètes, il ne reste plus qu'à ajouter à S, les sphères qui ont été mises de côté au début (voir formule (4')). * Remarque : Dans les formules (9) (13) et (15) les coefficients des cylindres sont analogues. Cela conduit à la généralisation de ces formules pour le cas de plusieurs verres plan-cylindriques minces accolés : (9') tan2a = Si ( Ci sin2ai ) / Si ( Ci cos2ai ) (13') S = ( Si ( Ci ) - C ) / 2 (15') C = Si ( Ci cos 2 ( a - ai )) 2.3 Application à la programmation La méthode de calcul proposée présente l'avantage de traiter des combinaisons de cylindres indépendamment du type de cylindre (+ ou -), donc sans avoir à réaliser une transposition (pour travailler avec des cylindres de même signe) et un ordre (angles croissants) préalables. Pour la formule (9), dans le programme JavaScript, la fonction atan (Arc tangente) donne comme résultat un angle en radian compris entre - p / 2 et + p / 2. Cet angle est dans un premier temps converti en degré, en le multipliant par 180 / p, puis est ramené entre 0 et 180° - s'il est négatif - par une formule du type : (1 - Sign(2a))*90 + 2a où la fonction Sign(x) est égale à :
Elle peut être créée, ou remplacée par la fonction abs(x) / x qui fait intervenir la valeur absolue, mais nécessite un traitement spécifique pour x = 0. |