8. Microscope
Un microscope a les caractéristiques suivantes :
- Objectif
- grandissement |gyob| = 40
-
- ouverture numérique : ON = 0,45
-
- Intervalle optique
- D = f 'obFoc = 160 mm
-
- Oculaire
- Huygens 4-3-2
-
- grossissement commercial : Gcoc = 10
-
Le diaphragme d'ouverture est placé dans le plan focal image de l'objectif, et le diaphragme de champ, de diamètre 8 mm, est dans le plan focal objet du verre d'œil de l'oculaire.
L'objectif est aplanétique.
L'observateur emmétrope n'accommode pas.
1) Étude de l'objectif
1.1 Calculer la distance focale image de l'objectif f 'ob et le diamètre du diaphragme d'ouverture.
1.2 L'objectif pourrait-il être utilisé avec un grandissement de 5 ?
2) Étude de l'oculaire (L1, L2)
L'oculaire est composé de deux lentilles minces L1 et L2.
2.1 Déterminer les caractéristiques suivantes :
Pioc, puissance intrinsèque,
f 'oc, distance focale image,
L1Hoc, L1Foc, L2H'oc et L2f 'oc en mesure algébrique.
2.2 L'oculaire est-il convergent ou divergent ? positif ou négatif ?
Justifier les réponses.
2.3 Tracer un faisceau issu d'un point B1 situé en [Foc], en dehors de l'axe, à travers l'oculaire,
en utilisant uniquement ses points cardinaux.
3) Étude du microscope
3.1 Définir la puissance intrinsèque du microscope Pim et montrer qu'elle s'exprime en fonction du grandissement de l'objectif et de la puissance intrinsèque de l'oculaire Pioc.
Définir le grossissement commercial du microscope Gcm.
Établir son expression en fonction de la puissance intrinsèque du microscope.
Calculer Pim et Gcm.
3.2 L'observateur peut résoudre des détails distants de 4.10-4 rad.
À quelle distance correspondent-ils dans l'espace objet du microscope ?
Comparer ce dernier résultat à la limite de séparation du microscope due à la diffraction, puis conclure.
3.3 Calculer le champ objet du microscope.
En supposant la limite de résolution constante dans le champ, combien de détails peuvent être perçus ?
3.4 Quelle est la profondeur de champ du microscope quand l'observateur accommode de 4 dioptries ?
3.5 Dans quel sens et de combien faut-il translater l'oculaire pour que l'image projetée sur un écran soit 100 fois plus grande que l'objet ?
Comment est-elle orientée par rapport à l'objet ?
1)
1.1 L'observateur emmétrope n'accommode pas.
L'image instrumentale de l'objet AB est donc rejetée à l'infini.
L'image objective A1B1 est dans le plan focal objet de l'oculaire.
Le grandissement transversal algébrique de l'objectif du microscope est négatif :
gyob = - 40.
En appliquant la formule de grandissement de Newton au couple conjugué (A, A1), on obtient :
f 'ob = + 4 mm
Comme l'objectif est aplanétique, on peut appliquer la relation d'Abbe (ou relation des sinus) au couple (A, A1) :
n.y.sinu = 1.y1.sinu1 (n.sinu est l'ouverture numérique de l'objectif : n.sinu = ON)
Cette relation algébrique reste valable en considérant les valeurs absolues de u, u1, y et y1,
Le résultat est très petite par rapport à 1, le sinus de l'angle est donc assimilable à la tangente.
ce qui donne,
Æ
Do = 3,6 mm
1.2 Un objectif de microscope est aplanétique pour un seul couple de plans conjugués, ici avec le grandissement 40.
Comme le faisceau objet est très ouvert : sinu = 0,45 ® u = 26,7°, le stigmatisme approché n'est obtenu que pour ce couple, et au voisinage de celui-ci (grandissement voisin de 40).
Les grandissement de 5 est trop éloigné du grandissement de 40 pour que l'aplanétisme soit conservé. L'image d'un objet AB sera alors entachée d'aberrations d'ouverture (aberration sphérique et coma).
2)
2.1 L'oculaire de Huygens est convergent. Son grossissement commercial est égal au quart de sa puissance intrinsèque :
Gcoc = Pioc / 4, d'où Pioc = 4 Gcoc = 4x10 Pioc = + 40 d.
f 'oc = 1 / Pioc = 1 / 40 m, soit f 'oc = + 25 mm.
Les trois formules de Gullstrand appliquées au doublet oculaire donnent :
2.2 L'oculaire est convergent (confimation de ce qui avait été annoncé plus haut) car a est positif, et f 'oc = 8a/3 est également positif.
Son foyer objet Foc est virtuel (situé après L1) ; l'oculaire est donc négatif.
2.3 Pour construire le faisceau issu de B1 à travers l'oculaire, on procède de la façon suivante :
- représentation à l'échelle des lentilles L1, L2 et des points cardinaux Hoc, H'oc et Foc ;
- tracé du rayon passant par le centre optique O1 de L1 et par B1 ;
- ce rayon n'est pas dévié par L1 ;
- tracé du rayon passant par B1 et Hoc ;
- comme Hoc est aussi point nodal objet de l'oculaire (les milieux extrêmes sont identiques, et donc les points nodaux sont confondus avec les points principaux), le rayon émergent correspondant passe par H'oc et est parallèle à B1Hoc (voir angles verts) ;
- comme B1 est un foyer secondaire objet de l'oculaire, le faisceau émergent est parallèle au rayon trouvé précédemment ;
- on termine la construction en joignant les points d'intersections des rayons passant par Hoc et H'oc avec les lentilles L1 et L2 - ce qui donne le rayon intermédiaire,
- puis en prolongeant le rayon O1B1 à partir de L2, parallèlement à la direction du faisceau émergent ;
- on peut remarquer que l'image de B1 par la première lentille est bien dans le plan focal objet de la seconde lentille.
3)
3.1 Dans le cadre de l'approximation de Gauss (ou approximation paraxiale),
la puissance intrinsèque du microscope - définie en valeur absolue - est le rapport du diamètre apparent de l'image, exprimé en radian, à la taille de l'objet, lorsqu'une condition intrinsèque au moins est satisfaite.
conditions intrinsèques :
- image à l'infini (c'est le cas de figure ici) ;
- observateur dans le plan focal image du microscope.
Lorsque la taille de l'objet est exprimée :
- en mètre, la puissance est en dioptrie,
- en millimètre, la puissance est en mm-1.
Si la première condition intrinsèque est satisfaite, alors :
L'image instrumentale est aussi l'image donnée par l'oculaire, la condition intrinsèque pour le microscope est aussi condition intrinsèque pour l'oculaire.
Si, par contre, la seconde condition intrinsèque est seule satisfaite, la condition intrinsèque pour le microscope n'est pas, d'un point de vue strict, condition intrinsèque pour l'oculaire, car le foyer principal image du microscope n'est pas confondu avec le foyer principal image de l'oculaire.
Toutefois, comme l'intervalle optique du microscope est généralement assez grand par rapport à la focale de l'oculaire, la distance entre les deux foyers est le plus souvent négligeable par rapport à la distance entre ces foyers et l'image instrumentale (voir remarque ci-dessous).
On admet donc que, quelle que soit la condition intrinsèque satisfaite, la puissance intrinsèque du microscope est égale au produit du grandissement de l'objectif par la puissance intrinsèque de l'oculaire.
Pi = |gyob|.Pioc
Remarque :
Supposons que le microscope précédent soit utilisé par un myope de réfraction axiale principale 4 dioptries, placé dans le plan focal image de l'oculaire, et n'accommodant pas.
L'image instrumentale A'B' est à 250 mm devant lui.
Par rapport au réglage précédent, l'oculaire a été déplacé dans le sens négatif
de t = f 'oc2.R, soit 2,5 mm.
Le foyer principal image du microscope s'obtient par la méthode des foyers, en conjuguant F'ob à travers l'oculaire :
après application de la relation de conjugaison de Newton, on obtient en valeur algébrique, F'ocF'm = - f 'oc2 / FocF'ob = - 252 / (- 157,5) = 3,97 soit environ 4 mm.
La variation relative du diamètre apparent de l'image, selon qu'on le définit à partir de F'oc ou F'm est de l'ordre de 4 / 250, c'est-à-dire 1,6%. La variation relative de la puissance est aussi de 1,6%, ce qui est négligeable.
Lorsqu'une condition intrinsèque au moins est satisfaite, le grossissement commercial d'un microscope est le rapport du diamètre apparent de l'image au diamètre apparent de l'objet, tel qu'il serait perçu à l'œil nu par l'observateur placé à 25 cm*.
* Cet angle de référence ne correspond à rien de concret car le microscope est généralement utilisé pour observer des objets ou des détails que l'on ne distinguerait pas à l'œil nu.
Pim = |gyob| Pioc = 40x40
Pim = 1600 d
3.2 La puissance intrinsèque du microscope permet de calculer la limite de séparation objet due à l'œil :
Pim = 1600 = q'(rad) / y (m)
y = 4.10-4 / 1600 m soit 0,25 mm.
La limite de séparation objet due à la diffraction par le diaphragme d'ouverture Do est donnée par le rayon de la tache d'Airy :
r = 1,22l / 2ON = 1,22x0,555 / (2x0,45) = 0,75 mm.
C'est cette seconde valeur qui est la plus élevée et qui limite le pouvoir séparateur du microscope.
3.3 Remarque préalable :
Le diaphragme, placé dans le plan focal objet du verre d'œil est placé en cet endroit pour éliminer le champ de contour.
C'est la seule possibilité, compte-tenu du fait que l'oculaire de Huygens est négatif (foyer objet virtuel) ; [F2] est le seul plan image réel pouvant être utilisé à cet effet.
Pour calculer le champ objet du microscope, recherchons d'abord le champ image :
tanw' = R2 / f '2 = 4 / 18,75
La puissance intrinsèque du microscope donne le champ objet :
R = tanw' / Pim = 4 / (18,75x1600) m, soit 133,3 mm.
Champ objet : 2R = 266,7 mm.
En divisant par la limite de séparation 0,75mm, on obtient environ 356 détails perçus sur un diamètre, et 3562xp / 4 dans le champ soit environ 100 000.
3.4 Quand l'observateur emmétrope accommode de quatre dioptries, le plan image observé est à 250 mm devant lui.
Dans le cas présent, la profondeur de champ du microscope est la distance qui sépare le plan objet [A] dont l'image [A'] est observée sans accomodation, du plan objet [A*] dont l'image [A'*] est observée avec une accommodation de quatre dioptries.
Appliquons deux fois la relation de conjugaison de Newton pour passer de l'espace image du microscope à son espace objet :
en valeur algébrique,
à travers l'oculaire,
FocA1* = - f 'oc2 / F'ocA'* = - f 'oc2 A.
à travers l'objectif,
FobA* = - f 'ob2 / F'obA1* = - f 'ob2 / (F'obFoc + FocA1*),
FobA* = - f 'ob2 / (D - f 'oc2 A)
A = 0 ® FobA = - f 'ob2 / D = - 42 / 160 = - 0,10000 mm ;
A = 4 d ® FobA* = - f 'ob2 / (D - f 'oc2 A)
FobA* = - (4.10-3)2 / (160.10-3 - (25.10-3)2x4) = - 0,09846 mm.
AA* = FobA* - FobA = - 0,09846 + 0,10000 = 0,001538 mm soit 1,5 mm.
Remarque :
En supposant D >> f 'oc2 A, on peut démontrer que la profondeur de champ est donnée par :
AA* = A (f 'ob.f 'oc / D)2
L'application numérique donne 1,563 mm.
C'est le même résultat que le précédent à 1,6% près.
3.5 L'image intermédiaire est agrandie 40 fois.
Pour obtenir un grandissement de 100, l'oculaire doit agrandir l'image intermédiaire d'un facteur 2,5.
Comme l'image finale est réelle, l'image intermédiaire est nécessairement placée en avant du foyer objet de l'oculaire.
L'oculaire doit être déplacé dans le sens de la lumière (c'est-à-dire éloigné de l'objectif) - cela correspond d'ailleurs à un réglage d'oculaire par un hypermétrope.
Le grandissement transversal de l'oculaire est négatif.
La formule de grandisssement de Newton appliquée dans l'espace objet de l'oculaire donne en calcul algébrique :
gyoc = - 2,5 = f 'oc / FocA1
FocA1 = - f 'oc / 2,5 = - 25 / 2,5 = - 10 mm
Comme l'image objective A1 est fixe, le foyer de l'oculaire, et l'oculaire aussi, ont bien été déplacés dans le sens de la lumière de 1 cm.
L'image observée sur l'écran est de même sens que l'objet (image droite).
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