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Théorie du polynôme d'interpolation de Hermite
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Soit quatre points M1, M2, M3 et M4.
La cubique qui passe par M2 et M3 et dont les tangentes en ces points sont parallèles aux segments M1M3 et M2M4 est définie par les quatre équations suivantes :

  1. a x23 + b x22 + g x2 + d = y2
  2. a x33 + b x32 + g x3 + d = y3
  3. 3a x22 + 2b x2 + g = (y3 - y1)/(x3 - x1)
  4. 3a x32 + 2b x3 + g = (y4 - y2)/(x4 - x2)
Ce système linéaire de quatre équations à quatre inconnues a, b, g et d peut être résolu par la méthode de Cramer.

Les matrices C, M et P sont telles que :

C = a M = a b c d P = x
b e f g h y
g i j k l z
d m n o p t

soit, en remplaçant par les valeurs connues,

M = x23 x22 x2 1 P = y2
x33 x32 x3 1 y3
3 x22 2 x2 1 0 (y3 - y1)/(x3 - x1)
3 x32 2 x3 1 0 (y4 - y2)/(x4 - x2)

La solution est obtenue en appliquant la relation :

C = M-1.P

ce qui donne :

     a = ((j - n)(x - y) + (f - b)(z - t) + (c - g)(nz - jt))/ ((j - n)(a - e) + (f - b)(i - m)
          + (c - g)(ni - jm))

     b = ((m - i)(x - y) + (a - e)(z - t) + (c - g)(it - mz))/ ((j - n)(a - e) + (f - b)(i - m)
          + (c - g)(ni - jm))

     g = ((ni - jm)(x - y) + (f - b)(it - mz) + (a - e)(jt - nz))/ ((j - n)(a - e) + (f - b)(i - m)
          + (c - g)(ni - jm))

     d = ((n - j)(ex - ay) + (i - m)(fx - by) + (jm - in)(gx - cy) + (be - af)(z - t) + (ag - ce)(nz - jt)
          + (cf - bg)(mz - it))/ ((j - n)(a - e) + (f - b)(i - m) + (c - g)(ni - jm))

Le calcul quelque peu laborieux (!) est intégré dans la macro-commande de Cabri.

S'il existe une méthode graphique permettant de résoudre ce type de système linéaire (hyperabaque ou autre), et donc d'utiliser plus sereinement le logiciel, je suis preneur.