Combinaison de cylindres :
Solution vectorielle

J.Hormière / 1992 (adapté CabriII Géomètre en 2001)


1. Introduction

1.1 Formules et vecteurs

Les formules qui permettent de calculer la formule sphéro-cylindrique

   S ( C ) a , équivalente à la combinaison :

   S1 ( C1 ) a1  Å   S2 ( C2 ) a2

ont été démontrées.

(Théorie de la combinaison des systèmes sphéro-cylindriques minces, accolés et centrés)

Pour la combinaison de cylindres proprement dite, trois équations sont nécessaires.

(9)     tan2u = tan2a = (C1 sin2a1 + C2 sin2a2) / (C1 cos2a1 + C2 cos2a2)

(13)   S = (C1 + C2 - C) / 2

(15)   C = C1 cos 2(a - a1) + C2 cos 2(a - a2)

Les formules (9) et (15) peuvent être traduites vectoriellement.

1.2 Remarque

Il existe plusieurs façons de procéder.
On peut citer comme exemple la méthode classique qui consiste à :

  1. convertir les formules, en cylindre " + " ou en cylindre " - ",
  2. ordonner les deux cylindres par angle a croissant
    (le plus petit angle sera nommé a1 et le plus grand a2),
  3. représenter les vecteurs associés aux cylindres dans un repère cartésien par :

    vect(C1) = (C1 ; 0)      

    le premier nombre (C1) représente le module du vecteur, et le second (0) son argument

    vect(C2) = (C2 ; 2(a2 - a1))

  4. additionner les deux vecteurs :

    vect(C) = vect(C1) + vect(C2) = (C ; 2(a - a1))

  5. en déduire la valeur du cylindre C (avec le signe choisi au 1. pour représenter les cylindres composants) et la valeur de l'angle a,
  6. calculer enfin la sphère S = (C1 + C2 - C)/2 à laquelle on ajoutera (S1 + S2).
La méthode choisie utilise une représentation directe des vecteurs associés aux cylindres, quels que soient leurs signes, ce qui élimine la mise en forme préalable du 1.

2. Description de la méthode vectorielle

On se muniera d'un double décimètre et d'un rapporteur gradué en degré.

  1. Dessin d'un repère cartésien xOy, orthonormé.
  2. Choix d'une unité pour les cylindres (par exemple 1 cm par dioptrie).
  3. Représentation du premier vecteur : vect(C1) = (C1 ; 2a1)
    si le cylindre est négatif, on reportera sur l'axe d'origine O et incliné de 2a1 par rapport à Ox un vecteur de sens opposé et de module C1.
  4. Représentation du second vecteur : vect(C2) = (C2 ; 2a2)
  5. Somme vectorielle : vect(C) = vect(C1) + vect(C2) = (C ; 2a)
  6. Résultat en cylindre " + " pour C.
  7. La sphère est calculée de façon habituelle.

    Animation Cabri II