Optique physique
pour le BTSOL

Exercices I


Joseph Hormière / Septembre 1999

Corrigé des exercices de la première partie du livre
(édité chez Mediacom Vision en Septembre 1999)

clm.com@wanadoo.fr

Le texte et les schémas sont propriétés exclusives de l'auteur
Toutes reproductions interdites


Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7
Exercice 8
Exercice 9


1   Dans le vide, fréquence n et longueur d'onde l sont reliées par la vitesse de la lumière c :

n = c / l

On rappelle que les unités sont :
La vitesse de la lumière dans le vide est donnée en m.s-1.

Application numérique :

l c / l n
400 nm ( 3 10 8 ) / ( 400 10 - 9 ) 7,50 10 14 Hz
800 nm ( 3 10 8 ) / ( 800 10 - 9 ) 3,75 10 14 Hz

2   En utilisant la relation entre la longueur d'onde, la fréquence et la vitesse de la lumière (cf. exercice précédent), l'écart de fréquence Dn s'écrit :

Dn = c ( 1 / l1 - 1 / l2 )

Dn = 3 10 8 ( 1 / (589,0 10 - 9 ) - 1 / (589,6 10 - 9 ))
Dn = 1,56 10 12 Hz

3   La longueur de cohérence est proportionnelle au temps de cohérence.
En reprenant les données de la page 8 :
si un temps de cohérence t = 10 - 9 s donne une longueur de cohérence l = 30 mm,
alors, un temps de cohérence mille fois plus grand donnera une longueur de cohérence mille fois plus grande, à savoir,
l = 30 000 mm soit 30 m

4   L'intensité vibratoire est :
I = a12 + a22 + 2a1a2cosf, soit
I = 1 + 9 + 2x3 cosf
I = 10 + 6 cosf

Lorsque l'angle f est défini en radian, la période de I(f) est 2p radian.

On rappelle les cas particuliers d'interférences :

vibrations déphasage intensité
en phase 2kp Imax = (a1 + a2)2
en opposition de phase (2k + 1)p Imin = (a1 - a2)2
en quadrature (2k + 1)p/2 Imoy = a12 + a22


Pour le domaine de définition [- p ; 4,5 p ], les valeurs remarquables sont :
Le tracé de la courbe est effectué à partir des points précédents.

On rappelle que sur une courbe les tangentes à la courbe sont pour les extremums (ici Imax et Imin) parallèles à l'axe des abscisses, et que pour une sinusoïde, les points d'ordonnée moyenne (ici Imoy) sont des points d'inflexion, points où la tangente traverse la courbe.

Courbe d'intensité

Courbe I(f). Abscisses en radian.


Imax = 10 + 6 = 16
Imin = 10 - 6 = 4
Imoy = 10 + 0 = 10

G = (Imax - Imin)/(Imax + Imin)
G = (16 - 4)/(16 + 4) = 12/20 = 0,6 soit 60%

5   On suppose a1 > a2.

Chacune des vibration est représentée par un vecteur. L'angle des deux vecteurs est égal au déphasage f, c'est-à-dire 0, p, et 2p radian (modulo 2p).

Le tableau ci-dessous présente les trois cas de figure.

Vecteurs de Fresnel Amplitude Intensité
Vibrations en phase
 A = a1 + a2 I = (a1 + a2)2
Vibrations en opposition de phase
 A = a1 - a2 I = (a1 - a2)2
Vibrations en quadrature
 A = Racine(a12 + a22) I = a12 + a22


On retrouve les intensités ci-dessus à partir de l'expression de l'intensité :

I = a12 + a22 + 2a1a2 cosf


cosf prend les valeurs successives +1, -1 et 0, ce qui donne :

I = a12 + a22 + 2a1a2 = (a1 + a2)2
I = a12 + a22 - 2a1a2 = (a1 - a2)2
I = a12 + a22

6   Le contraste est, par définition, donné par :

G = (Imax - Imin) / (Imax + Imin)


En divisant numérateur et dénominateur par 2 on obtient :

G = DI / Imoy

En effet, (Imax + Imin) / 2 = (a12 + a22 + 2a1a2 + a12 + a22 - 2a1a2) / 2 = a12 + a22 = Imoy

7   En divisant, dans l'expression du contraste (cf. exercice 6), numérateur et dénominateur par a22, on obtient :

G = 2x / (1 + x2)

L'expression du contraste ne dépend que du rapport des amplitudes (C.Q.F.D).

Lorsque x tend vers + ¥, la fonction tend vers zéro ; elle admet l'axe des x comme asymptote.

Variation du contraste

Courbe G = f(x), avec x = a1 / a2.


x f(x) La valeur maximum du contraste est 1, ou 100%. Elle est obtenue lorsque x, le rapport des amplitudes, est égal à 1, ou, autrement dit, lorsque les amplitudes des vibrations qui interfèrent sont égales.

On constate en outre que :
f(1/4) = f(4)
f(1/3) = f(3)
f(1/2) = f(2)

De façon plus générale f(x) = f(1/x)

On peut permuter les deux vibrations : cela ne change pas pour autant le contraste.
D'un point de vue physique, ce résultat était prévisible, car il n'y a pas lieu, quand il y a interférences, de privilégier, dans les calculs, une vibration plutôt qu'une autre.
0 0
1/4 8/17 = 0,47
1/3 6/10 = 0,60
1/2 8/10 = 0,80
1 1
2 8/10 = 0,80
3 6/10 = 0,60
4 8/17 = 0,47

8   La différence de marche en un point M de l'écran est fonction de la distance qui sépare les deux fentes S1S2, de la distance fentes-écran D et de l'abscisse x de M par rapport à l'axe du système :

d = S1S2.x / D

Dans le cas limite où cette différence de marche est égale à la longueur de cohérence lettre l :

d = S1S2.x / D = lettre l ; comme, pour des raisons de symétrie, la largeur du champ d'interférences est 2x = L, alors,

L = 2 lettre lrouge.D / S1S2


Le nombre d'interfranges observables est égal à L / i, où i représente la longueur de l'interfrange.
i = lD / S1S2, donc L / i = 2 lettre lrouge / l

Applications numériques :

L = 2x0,3x2 / 3 = 0,4 m soit 40 cm
L / i = 2x0,3 / 546 10-6 = 1098,9, d'où N = 1100 environ

Remarques :
  1. Le rapport L / i est rarement entier. Quand il est relativement petit, le nombre d'interfranges est l'entier immédiatement inférieur à ce rapport, ou la partie entière de L / i. Pour de très grandes valeurs - et c'est ici le cas - on arrondit à la valeur la plus proche, car on n'est pas à quelques interfranges près !
  2. La détermination de la largeur du champ d'interférence fait également intervenir le phénomène de diffraction par les fentes S1 et S2 : plus ces fentes sont fines et plus le lobe central de diffraction qui correspond à l'ordre zéro est large ; plus large sera donc la zone de recouvrement des deux faisceau diffractés (voir chapitre sur la diffraction par une fente fine) ; mais corrélativement, plus les fentes sont fines, et plus faible est l'intensité diffractée, et en conséquence l'intensité des interférences.
    Comme on le voit, rien n'est simple!
9   

 1) L'interfrange est donné par la formule :

i = l f ' / d

2) Chaque étoile donne un système de franges d'interférences.
Chaque système est centré sur l'image de chacune des étoiles donnée par l'objectif.
Ces images sont des foyers secondaires, obtenus en joignant les étoiles au centre optique de l'objectif, et en cherchant l'intersection de ces droites avec le plan focal image de ce dernier.
La distance entre les deux foyers secondaires correspond à t (cf. schéma ci-dessous).

Etoile double
 En supposant l'angle e petit, on peut écrire :

t = f 'e (radian)


3) Les deux étoiles sont des sources incohérentes entre elles, car il n'y a pas de raison qu'elles émettent des photons avec une relation de phase constante dans le temps (à moins que l'une ne soit un mirage de l'autre !).

Les deux systèmes de franges d'interférences s'additionnent donc en intensité.

Ces systèmes sont constitués de franges d'Young, rectilignes, de même interfrange i (cf. formule au 1)).

L'addition des deux intensités est constante lorsqu'il y a «opposition de phase» entre les deux systèmes : un maximum d'un système correspond à un minimum de l'autre système, et réciproquement. On dit alors que les systèmes de franges sont complémentaires. Cette configuration donne un brouillage des franges (c'est-à-dire une disparition).

Remarque :

Pour qu'il y ait complémentarité parfaite, les franges de chaque système doivent être identiques en intensité (mêmes maximums et mêmes minimums) ; cela n'est possible que si les deux étoiles ont, après filtrage, le même éclat.

D'un point de vue mathématique, l'intensité résultante, lors du brouillage, est de la forme :

I = (a12 + a22 + 2a1a2 cos(f)) + (a12 + a22 + 2a1a2 cos(f - p))

et comme cos(f - p)= - cos(f),

I = 2(a12 + a22) = Cte

4) Les quatre séries de courbes ci-dessous montrent qu'en réalité, le contraste des franges observées varie avec le décalage des deux systèmes de franges.

Franges en phase
t = k.i (k entier) ; les systèmes sont en phase ; contraste maximum : G = 1
Franges déphasées de Pi / 2
les systèmes sont déphasés ; le contraste diminue : G = 0,71
Franges déphasées de 3 Pi / 4
le déphasage augmente ; nouvelle diminution du contraste : G = 0,38
Franges en opposition de phase
t = i / 2 + k.i ; systèmes en opposition de phase ; contraste nul : G = 0


5) En associant les équations des questions 1) et 2), et en considérant le premier brouillage obtenu pour t = i / 2 (cf. courbes ci-dessus), on obtient :

f 'e = lf ' / 2d, soit

e = l / 2d

Applications numériques :

e = 550 10-9 / 2x5 10-2 = 5,55 10-6 rad ;

en multipliant par 180 / p, on obtient e = 3,18 10-4 ° ;

et en multipliant par 60x60 (3600), e = 1,14 ².
_______________________________________________

A titre d'exercice complémentaire, on pourra rechercher la loi de variation du contraste des franges en fonction du décalage t.

On pourra supposer les amplitudes des vibrations qui interfèrent égales à l'unité : a1 = a2 = 1.

On rappelle, pour ceux qui seraient fâchés avec la trigonométrie, que :

cosp + cosq = 2 cos((p + q) / 2).cos((p - q) / 2).

Le contraste qu'il faudra trouver est G = ½cos(pt / i)½.


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