Optique physique
pour le BTSOL

Exercices II


Joseph Hormière / Septembre 1999

Corrigé des exercices de la deuxième partie du livre
(édité chez Mediacom Vision en Septembre 1999)

clm.com@wanadoo.fr

Le texte et les schémas sont propriétés exclusives de l'auteur
Toutes reproductions interdites


Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7
Exercice 8
Exercice 9


1

Différence de marche IKM représente le trajet de la lumière dans le verre.
La différence de marche est : d = [IKM] - [IN] = n IKM - IN.

Comme P est le milieu de IM, le point O obtenu divise IN en deux parties égales : IO = ON (théorème de Thalès).

Pour des raisons de symétrie par rapport à la droite PK,
IJ = LM. La différence de marche peut donc s'écrire : d = 2(n IJ + nJK - IO).

Les angles aigus r et IPJ dont les côtés sont perpendiculaires deux à deux sont égaux, de même les angles i et OPI.

IJ = IP sin(IPJ) = IP sinr et IO = IP sin(OPI) = IO sini

IO / IJ = sini / sinr = n, d'après la loi de réfraction de Descartes-Snell.

Donc IO = n IJ, ce qui simplifie la différence de marche en : d = 2n JK,
et comme les angles r et PKI sont égaux, JK = e cos(PKI) = e cosr et

d = 2ne cosr (C.Q.F.D.)

En définitive, les chemins optiques [IJ] et [IO], [LM] et [ON] se compensent deux à deux, et la forme symétrique de la différence de marche apparaît alors clairement : [JKL] = 2 [JK].

2

Cohérence
1)   d12 = (n.aj + n.jc + cf + n.fi) - (ad + db + be + n.eh)
          = (1,5x10 + 1,5x10 + 0,1 + 1,5x10) - (0,1 + 0,1 + 0,1 + 1,5x10)
d12 = 29,8 mm

d23 = (ad + db + + be + n.eh) - (ad + n.dg)
     = (0,1 + 0,1 + 0,1 + 1,5x10) - (0,1 + 1,5x10)
d23 = 0,2 mm

d13 = (n.aj + n.jc + cf + n.fi) - (ad + n.dg)
          = (1,5x10 + 1,5x10 + 0,1 + 1,5x10) - (0,1 + 1,5x10)
d13 = 30 mm

2)   Une condition d'interférences est que la différence de marche soit inférieure à la longueur de cohérence.

Ici, d23 = 0,2 mm < Lc = 0,3 mm.

Seules les vibrations 2 et 3 peuvent interférer.

3)   L'intensité due aux trois vibrations sera donc :

I = I1 + I23 = a12 + a22 + a32 + 2 a2a3cosf

En effet, les vibrations cohérentes se superposent en amplitude (2 et 3), et les vibrations incohérentes, en intensité (1 avec 2 et 3).

3   1)   Le contraste des anneaux d'égale inclinaison est (voir page 17) :

      en transmission G = 2R / (1 + R)2
      en réflexion G = 2T / (1 + T)2

où R et T sont les facteurs de réflexion et de transmission en intensité du dioptre air-verre (et verre-air) :

R = (n - 1)2/(n + 1)2 et T = 1 - R.

GT GR
1,5 0,080 0,999
1,6 0,106 0,999
1,7 0,134 0,998
1,8 0,162 0,996
1,9 0,191 0,995


Variation de contraste

Variation du contraste des anneaux d'égale inclinaison en fonction :
de l'indice de la lame de verre, et de l'observation.


2)   L'application numérique donne :

R = 0,0045 ; T = 0,9955 ; GT = 0,009 ; GR = 1

3)   Conclusions :


4 1)   La lame séparatrice, semi-transparente, permet de séparer le faisceau d'éclairage du faisceau réfléchi par la lame d'air.

Sans lame, si l'appareil photographique était placé entre la source et la lame, il ferait ombre sur celle-ci, et s'il était placé derrière la source, cette dernière apparaitrait au centre de la photographie. Dans les deux cas, les interférences seraient masquées.

2)   Les interférences sont localisées à l'infini, car les rayons dédoublés par la lame d'air sont parallèles entre eux.

L'appareil photographique doit être mis au point à l'infini : le plan du film est confondu avec le plan focal image de l'objectif.

3)   Le plus grand cercle inscrit dans un rectangle de format 24 mm x 36 mm est un cercle de diamètre 24 mm.

Le diamètre apparent correspondant est 2i, tel que :

tani = 12 / 100, soit i = 6,843° et 2i = 13,69° ou 6° 41' 8 ", ou bien encore 0,239 rad.

4)   La différence de marche entre deux rayons qui interfèrent à l'infini est (voir page 22) :

d = 2e.cosi + l / 2 = p.l

L'ordre d'interférence p décroit lorsque i augmente.

Dans le cas présent, il est entier au centre du champ d'interférences.

Le quatrième anneau brillant correspond à l'ordre po - 4,
où po est l'ordre au centre, obtenu pour i = 0°.

    au centre do = 2e + l / 2 = po.l
    au bord d = 2e.cosi + l / 2 = (po - 4).l
    do - d = 2e(1 - cosi) = 4l

d'où l'on tire e = 2l / (1 - cosi) = 2x644 10-6 / (1 - cos6,843) = 0,18082 mm

Calculons l'ordre au centre à partir de cette valeur approchée de e :

po = 2e / l + 0,5 = 2x0,18082 / 644 10-6 + 0,5 = 562,05.

En prenant po = 562, on obtient, en définitive :

cosi = 1 - 2l / e = 1 - 2l / (po - 0,5)l / 2 = 1 - 4 / (po - 0,5) = 1 - 4 / 561,5 = 0,992876

ce qui donne i = 6,843° et un diamètre dans le plan du film de 24,001 mm (!), et sur le tirage photographique 120,005 mm, que l'on approximera bien évidemment par 120 mm.

Le calcul de l'épaisseur de la lame d'air a été effectué au centième de micromètre près (180,82 mm). En effet, une variation d'épaisseur d'une demi-longueur d'onde - soit 3 dixièmes de micromètre environ - change le centre brillant des anneaux en un centre sombre, et la précision du dixième serait insuffisante.

Par contre la précision obtenue sur le diamètre du dernier anneau brillant dépasse très largement la réalité de la mesure de cet anneau, car la distribution sinusoïdale de l'intensité ne permet pas une détection très précise des maximums.

5    Correctifs à l'énoncé de la page 31 :

1)   On suppose les diaphragmes D et D' conjugués par le doublet de lentilles (C, L).

Le diaphragme D est placé dans le plan focal objet de C. Son image D1 à travers C est rejetée à l'infini. Elle est définie par son diamètre apparent 2q1, tel que tanq1 = R / f 'C.

D1 est un objet à l'infini pour la lentille L. Son image par L est dans le plan focal image de L et a pour diamètre : 2R' = 2 f 'L tanq1 = 2R f 'L / f 'C, d'où l'on tire :

2R = 2R' f 'C / f 'L = 15x200/240

2R = 12,5 mm.

2)    Le bord supérieur F de D est un foyer secondaire objet pour C. Tous les rayons issus de ce point forment après réfraction un faisceau parallèle dont la direction est donnée par le rayon-objet passant par le centre optique de C et qui n'est pas dévié.

L'image de F par C, F1, est rejetée à l'infini. L'image de F1 par L est dans le plan focal image de L : c'est un foyer secondaire image F' pour L. On l'obtient en traçant le rayon du faisceau définissant F1 qui passe par le centre optique de L.

Figure 1 BTSOL99


3)

Figure 2 BTSOL99


4)   Comme les diaphragmes D et D' sont conjugués par rapport au doublet (C, L), les deux premiers rayons transmis par la lame d'air interfèrent en F' qui est le bord inférieur du diaphragme D' (voir Figure 1).

5)   La différence de marche en F' est :

d = [IJKL] - [IM] = [IJK] = IJ + JK

d = 2e cosi

Il n'y a pas de terme l / 2 dans l'expression de la différence de marche, car le rayon 2 subit deux réflexions (en I et J) sur un milieu plus réfringent, et la variation de phase de 2p radians qui en résulte ne modifie en rien l'état d'interférence en F'.

6)   L'ordre d'interférence est le quotient de la différence de marche par la longueur d'onde.

Au centre du champ d'interférences, i = 0° et d = p0l

donc p0 = 2e / l= 2x1500 / 0,546 = 5494,505

p0 = 5494,5

C'est ordre est demi-entier ; on voit au centre un point vert sombre.

En effet la longueur d'onde 0,546 mm correspond à la radiation verte émise par une lampe à vapeur de mercure.

7)   Au bord du champ d'interférence l'ordre est pmin tel que :

2e cosimax = pminl, avec

tanimax = R' / f 'L = 7,5 / 240

soit imax = 1,7899° et pmin = 5491,8

Les anneaux brillants sont obtenus pour les valeurs de p entières comprises entre pmin et pmax (p0), c'est-à-dire : p = 5494, 5493 et 5492.

On observera donc 3 anneaux brillants dans le champ.

8)   Les deuxième et troisième anneaux brillants ont pour ordres respectifs 5493 et 5492.
Le calcul de l'angle i à partir de la relation d = 2e cosi = pl donne :

i = Arccos(pl / 2e)

Dans l'espace image de la lunette, l'angle i est multiplié par le grossissement G :

i' = G.i

p i° i'° 2i'°
5493 1,34 7,73 15,45 soit 15° 27' 6"
5492 1,73 9,97 19,93 soit 19° 56' 2"


9)   Di'° = 2,24°

La différence de 2,24° est largement supérieure à la limite de résolution de l'œil 1,4'.

Les trois anneaux sont donc parfaitement séparés.


6    La différence de marche entre les deux vibrations qui interfèrent est :

en transmission : d = 2ne = pl
en réflexion :      d = 2ne + l / 2 = pl
Les ordres limites qui correspondent aux longueurs d'onde extrêmes l1 = 480 nm et l2 = 520 nm sont :

en transmission : p1 = 64,58 et p2 = 59,61
en réflexion :      p1 = 65,08 et p2 = 60,11
Les radiations éteintes sont obtenues à partir des valeurs de p demi-entières comprises entre p1 et p2.

l nm
p Transmission Réflexion
64,5 480,6 484,4
63,5 488,2 492,1
62,5 496,0 500,0
61,5 504,1 508,2
60,5 512,4 516,7



7    La différence de marche entre les deux vibrations qui interfèrent est donnée par (voir page 18) :

d = 2ne cosr (+ l / 2)

Le terme l / 2 intervient lorsque les interférences sont observées par réflexion.

En supposant les angles d'incidence et de réfraction petits, sinus et cosinus peuvent être approximés à l'ordre deux par :

sini = i ; sinr = r et cosr = 1 - r2 / 2 (angles en radian)

La variation de différence de marche entre deux anneaux d'ordre p1 et p2 (p2 < p1) s'écrit alors :

2ne (1 - r12 / 2) (+ l / 2) = p1l
2ne (1 - r22 / 2) (+ l / 2) = p2l


en retranchant la seconde équation à la première,

ne(r22 - r12) = (p1 - p2)l

On constate que le terme l / 2 n'intervient pas.

En appliquant la loi de Kepler (approximation de la loi de Descartes-Snell pour les petits angles) i = nr, on obtient, en définitive,

e(i22 - i12) / n = (p1 - p2)l

e(i2 - i1)(i2 + i1) / n = (p1 - p2)l

d'où e = (p1 - p2)ln / ((i2 - i1)(i2 + i1))

Or les trois pointés angulaires figurés sur le schéma représentent, dans l'ordre, - i2, i1 et + i2 (en repérant les angles algébriquement à partir du centre des anneaux, avec le sens positif de la gauche vers la droite).

En combinant deux à deux ces pointés, on trouve :

i2 - i1 = 188° 34' - 182° 33' = 6° 1' soit 0,105011 rad.
i2 + i1 = 182° 33' - 171° 26' = 11° 7' soit 0,194022 rad.

La différence d'ordre (p1 - p2) est égale à trois car si le plus petit anneau a pour ordre p1, les anneaux suivants ont pour ordre p1 - 1, p1 - 2 et p1 - 3 = p2. Il en résulte :

e = 3x633 10-6x1,6 /(0,105011x0,194022) = 0,149 mm


8

Antireflet 1)   Un rayon (0) qui arrive sur la couche antireflet est partiellement réfléchi suivant (1).
Le rayon réfracté se réfléchit partiellement sur la surface du verre, puis se réfracte sur le dioptre antireflet-air pour donner le rayon (2).

Les rayons (1) et (2), parallèles entre eux, interfèrent à l'infini.

2)   La différence de marche entre (2) et (1) est :

d = 2ne cosr

Comme les indices vont en croissant (1 < n < n'), les deux réflexions subies par les rayons (1) et (2) se font sur un milieu plus réfringent.
Il se produit chaque fois un déphasage de p radian. Dans la différence de phase entre les vibrations (2) et (1) à l'infini, ces deux déphasages s'annulent.

Il n'y a donc pas de terme l / 2 dans l'expression de la différence de marche.

3)   Pour que les interférences soient destructives les vibrations (1) et (2) doivent être en opposition de phase : f = (2k + 1)p

Comme la différence de phase f est reliée à la différence de marche d par : f = 2pd / l, la différence de marche doit être telle que :

d = (2k + 1)l / 2 (k, entier)

4)   On déduit des deux expressions de la différence de marche l'épaisseur de la couche antireflet :

d = 2ne cosr = (2k + 1)l / 2 d'où

e = (2k + 1)l / (4 n cosr)

En incidence normale i = r = 0°, soit cosr = 1, et donc

e = (2k + 1)l / 4 n

5)   La plus petite épaisseur possible est obtenue pour k = 0.

ek = 0 = l / 4 n = 555 /(4x1,38) = 100,5 nm

6)   Lorsqu'un rayon se réfléchit sur un dioptre, son amplitude est multipliée par le facteur de réflexion en amplitude du dioptre, et lorsque qu'il est réfracté, son amplitude est multipliée par le facteur de transmission en amplitude du dioptre.

a1 = a r
a2 = a t r' t = aTr' avec T = t2

7)   On associe à chaque vibration un vecteur de Fresnel. Ces vecteurs sont de direction opposées car les vibrations sont en opposition de phase. Pour que l'intensité vibratoire résultante soit nulle, leur somme vectorielle doit être nulle ; ils doivent avoir la même amplitude (voir le deuxième cas de figure dans le tableau de l' exercice I,5).

8)   On suppose que la couche antireflet a l'épaisseur calculée dans la question 5) : e = l / 4 n.

L'intensité vibratoire associée au reflet est :

I = a12 + a22 + 2a1a2 cos(2pd /l)
I = a2(R + T2R' + 2rr'T cos(2pd /l))

Exprimé en pourcentage, le reflet résiduel s'écrira : R = 100 I / a2

d = 2ne cosr = 2n (l / 4n) cosr = l cosr / 2

en reportant dans l'expression du reflet résiduel,

R = 100( R + T2R' + 2rr'T cos(p cosr))

Afin d'effectuer les calculs en degré, on remplacera p radian par 180°.

R = 100(R + T2R' + 2rr'T cos(180 cosr))

Sur les deux dioptres, les angles d'incidence et de réfraction sont liés par :

sini = 1,38 sinr et 1,38 sinr = 1,6 sinr'

Les angles r et r', pour les quatre valeur de i, sont données dans le tableau ci-dessous, ainsi que les corfficients intervenant dans les calculs de R.

i ° 0 30 45 60
r ° 0,00 21,24 30,82 38,87
r' ° 0,00 18,21 26,23 32,77
r 0,160 0,163 0,184 0,261
r' 0,074 0,074 0,077 0,083
T 0,975 0,973 0,966 0,932
R % 0,77 0,88 1,47 4,33


On constate que le facteur de réflexion résiduelle reste inférieur à 1% pour des angles inférieurs à 30°,
puis croît assez rapidement.

L'indice du fluorure de magnésium 1,38 n'est pas bien adapté à l'indice 1,6.
Il conviendrait mieux pour un verre d'indice 1,382 = 1,904.


9

Elimination des reflets gênants Le traitement antireflet sur les dioptres externes des lames de verre
permet de diminuer de façon notable les réflexions sur ces dioptres
et d'éviter que les vibrations correpondantes interfèrent avec les vibrations
1 et 2 (en transmission) ou 1' et 2' (en réflexion).
(Voir exercice 2)





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