La macro-commande construit un rayon réfracté par un dioptre. Après divers essais, j'ai choisi une solution qui s'adapte à toutes sortes de dioptres (plan, sphérique, etc.), à condition que l'on connaisse la normale au dioptre au point d'incidence (ou que l'on sache la construire).
Les données sont :
- Point objet A
- Point d'incidence I
- Normale au dioptre au point d'incidence (droite)
- Indice de réfraction du premier milieu (n1)
- Indice de réfraction du second milieu (n2)
A. Principe de la construction
Les dénominations des points et autres éléments géométriques n'apparaissent pas sur la figure.
Elles ne servent qu'à faciliter la description de la construction.
- Calcul du rapport n2/n1
- Perpendiculaire à la normale au dioptre en I (tangente au dioptre en I)
- Symétrique de A par rapport à I (A1)
- Homothétique A2 de A1 par H (I, n2/n1)
- Cercle de centre I et de rayon IA2
- 1e Intersection de ce cercle avec la tangente au dioptre en I
- 2e Intersection de ce cercle avec la tangente au dioptre en I
- Arc de cercle défini par le point A2 et les deux intersections précédentes
- Parallèle menée de A1 à la normale au dioptre en I
- Intersection de cette parallèle avec l'arc (A3)
- Demi-droite IA3 donnant le rayon réfracté
B. Exemple
La réfraction de la lumière par une boule de verre a longtemps occupé les savants opticiens. Mais avant de connaître la loi de Descartes-Snell (loi des sinus), ils n'ont pu guère qu'observer de magnifiques caustiques d'aberration sphérique.
Les deux exemples ci-dessous présentent le cas d'un point objet à l'infini (a) et celui d'un point à distance finie (b).
a) Cas d'un point objet à l'infini
- On se donne un point M et un cercle de centre C
- Segment MC
- Intersection K de MC avec le cercle
- Perpendiculaire au segment MC en C
- Intersection de cette perpendiculaire avec le cercle
- Demi-cercle défini par ces intersections et K (arc)
- Point courant I sur le demi-cercle
- Droite passant par C et I (normale à la boule en I)
- Construction du premier rayon réfracté
- Intersection de ce rayon avec la boule en J
- Droite passant par C et J (normale à la boule en J)
- Construction du second rayon réfracté
- Segments MI et IJ
- Effacement de la première demi-droite réfractée
- Un cercle de centre C, et de diamètre supérieur à celui de la boule, coupe la demi-droite réfractée en J en L
- Segment JL
- Lieu du segment MI par rapport à I
- Lieu du segment IJ par rapport à I
- Lieu du segment JL par rapport à I
On peut agir sur M, C, I et sur les deux cercles.
b) Cas d'un point objet à distance finie
- On se donne un point A et un cercle de centre C
- Segment AC
- Intersection de AC avec le cercle (K)
- Milieu M de AC
- Cercle de centre M et de rayon MC
- Intersection de ce cercle avec le cercle de centre C
- Arc de cercle défini par les intersections précédentes et K
- Point courant I sur l'arc
- Droite passant par C et I (normale à la boule en I)
- Construction du premier rayon réfracté
- Intersection de ce rayon avec la boule en J
- Droite passant par C et J (normale à la boule en J)
- Construction du second rayon réfracté
- Segments MI et IJ
- Effacement de la première demi-droite réfractée
- Un cercle de centre C, et de diamètre supérieur à celui de la boule, coupe la demi-droite réfractée en J en L
- Segment JL
- Lieu du segment MI par rapport à I
- Lieu du segment IJ par rapport à I
- Lieu du segment JL par rapport à I
On peut agir sur A, C, I et sur les deux cercles.
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