Triangle symétrico-latéral d'aire constante

Remarque préalable Le triangle initial est appelé rvb (rouge, vert, bleu). L'étude du triangle obtenu en prenant les symétriques d'un point quelconque M par rapport aux côtés rv, vb, br peut être ramenée à celle du triangle qui lui correspond dans une homothétie de centre M et de rapport ½ : il s'agit en définitive du triangle construit à partir des pieds Hb, Hr et Hv des perpendiculaires menées de M aux trois droites supports de rv, vb et br. Méthode utilisée Le lieu de M quand l'aire du triangle HbHrHv est constante est un cercle dont le centre coïncide avec le centre du cercle circonscrit au triangle rvb. À la différence du premier problème posé (triangle rectangle), il est assez difficile, par tâtonnement de rechercher différentes positions de M qui donnent une aire constante pour le triangle HrHvHb. J'ai donc procédé de la sorte (voir Figure 1) : Figure 1 Je choisis un nombre (5) qui représente l'aire en centimètre carré du triangle (valeur modifiable, placée à gauche de la figure). Je définis un repère orthonormé d'origine r et d'axe des x rb. Je place un point quelconque P sur l'axe des abscisses, trace la perpendiculaire à l'axe des x en ce point et construit sur cette dernière une demi-droite d'origine P dirigée vers le haut. Je reporte l'aire (5) sur cette demi-droite (point dénommé "aire") et trace la parallèle en ce point à l'axe des x. Je définis un point courant Q sur la droite Paire, trace la parallèle à l'axe des x en ce point et place un point courant M sur cette parallèle. J'ai donc défini le point M que je vais pouvoir déplacer en x et y. Je mesure l'aire du triangle HrHvHb et reporte cette aire sur une demi-droite dirigée vers le haut, dont l'origine est sur l'axe des x et qui passe par M (point a). Je crée le lieu de a par rapport à M et j'obtiens une parabole (en gris sur la figure). Cette parabole d'équation y = ax2 + bx + c est telle que c seul varie, quand l'ordonnée de M varie. L'intersection de la parabole avec la droite d'ordonnée "aire" me permet de positionner M de façon à ce que l'aire de HrHbHv soit égale à la valeur de départ choisie (ici 5, voir figure 2). En modifiant l'ordonnée de M, je peux ensuite rechercher le lieu de M, point par point. Et je trouve le cercle annoncé au début. Le fichier aireconstante2.fig (Cabri géomètre II Plus) donne une animation. Figure 2 Figure 3 Voilà la formule de l'aire A' du triangle symétrico-latéral quand le point décrit un cercle dont le centre est celui du cercle circonscrit au triangle de base (lieu de M qui donne une aire A' constante) : A' = A*abs(1-(R"/R)2) R" : rayon du cercle portant le point M R : rayon du cercle circonscrit A : aire du triangle de base J'ai trouvé ce résultat en traçant sur Excel (voir Figure 4) les courbes A' = f(R"), puis A' = g(R"2) et en constatant que la seconde était la réunion de deux droites. A' était mesuré sur Cabri avec l'outil aire. Figure 4 Expression de l'aire (quelques précisions) Un troisième triangle, simplement construit, apporte quelques explications sur la formule ! Les normales de M aux supports des côtés du triangle de base rvb coupent le cercle sur lequel se déplace M en trois points r", b" et v" (Figure 5). Figure 5 Le triangle r"b"v" est semblable au triangle rvb. En effet, les angles aigus (r'Mb') et (bvr) dont les c^tés sont respectivement perpendiculaires sont égaux. Comme dans le cercle de rayon OM les angles inscrits (r"Mb") et (r"v"b") interceptent le même arc, ils sont égaux. Même raisonnement pour les couples d'angles (v'Mr') et (vbr),(v"Mr") et (v"b"r"). En notant OM = R" et Or = Ov = Ob = R, on obtient pour le raopport des aires des deux triangles semblables : Aire (rvb) = A = k.Aire (r"v"b") = k.A"   avec   k = (R/R")2 Les mesures sur Cabri des aires A, A' et A" des trois triangles (rvb), (r'v'b') et (r"v"b") nous donnent une relation très simple entre celles-ci, à savoir : A' = Abs(A - A") d'où l'on tire aisément, A' = A*Abs(1 - (R"/R)2) Il s'ensuit les cas particuliers : 1)     R" = 0 ou R" = 2½R     →     A' = A   (Réponse au problème 5) 2)     R" = R     →     A' = 0   (Cas de la droite de Steiner : voir problème 4)