Triangle symétrico-latéral

Martin Acosta a posé sur le Web (http://tecfa.unige.ch/problemes) divers problèmes concernant le triangle obtenu, dans le plan, à partir des symétriques d'un point P par rapport aux côtés d'un triangle. Il attribue à ce triangle le qualificatif de symétrico-latéral. Dans un article publié sur le net Eckart Schmidt (http://eckart_schmidt.bei.t-online.de) utilisait le terme plus imagé de "Spiegeldreieck" : en mot à mot triangle-miroir, que l'on pourrait traduire par triangle réfléchi. Le but proposé par Martin Acosta n'était pas en fait de trouver des démonstrations, mais plutôt de rechercher, avec l'outil graphique que constitue Cabri Géomètre, des méthodes de détermination de lieux. C'est ce qui m'a intéressé dans sa démarche et j'ai ainsi participé à ce challenge. La conclusion de ce travail a été la réalisation d'une méthode de recherche de lieu, inspirée d'un travail que m'a fait parvenir Martin Acosta, et qui utilise, entre autres, l'outil lieu de lieu si intéressant dans la dernière version de Cabri (mais à consommer avec modération !). A. Les problèmes de Martin Acosta Quel est le lieu des points P dont le symétrico-latéral est rectangle ? Quel est le lieu des points P dont le symétrico-latéral est isocèle ? Quel est le lieu des points P dont le symétrico-latéral est équilatéral ? Quel est le lieu des points P dont le symétrico-latéral est aplati ? Quel est le lieu des points P dont le symétrico-latéral a la même aire que le triangle de référence ? Quel est le lieu des points P dont le symétrico-latéral est semblable au triangle de référence ? Caractériser la transformation qui fait correspondre à un point P le barycentre de son triangle symétrico-latéral, et donner deux procédés de construction différents. Caractériser la transformation qui fait correspondre à un point P le centre du cercle circonscrit de son triangle symétrico-latéral, et donner deux procédés de construction différents. NON RÉSOLU Quel est le lieu de points P pour lesquels le symétrico-latéral de P et le triangle de base sont perspectifs ? Quel est le lieu de points P pour lesquels le symétrico-latéral de P et le triangle tangentiel sont perspectifs (le triangle tangentiel est formé par les centres des cercles solution du symétrico-latéral rectangle, points complémentaires du point de Lemoine, ou bien formé par les tangentes aux sommets du cercle circonscrit) ? NON RÉSOLU Quel est le lieu de points P pour lesquels le symétrico-latéral de P et le triangle anticomplémentaire sont perspectifs (le triangle anticomplémentaire est le triangle dont ABC est le triangle des milieux) ? NON RÉSOLU B. Quelques macro-commandes 1. PointsRemTri.mac donne 7 points remarquables d'un triangle. Pour les obtenir, il suffit, après avoir sélectionné la macro, de cliquer sur les trois sommets du triangle. 2. Locodrome.mac, associé aux outils lieu et trace, permet de déterminer un lieu de points associés à une propriété remarquable. La macro construit, à partir d'un segment et de deux points courants sur le segment, une fenêtre (cadre) dans laquelle un point courant P peut être déplacé dans deux directions perpendiculaires (quadrillage de la fenêtre). La fenêtre peut être translatée, en déplaçant le segment, et modifiée (rotation, changement du format). Il suffit d'agir sur les différents points pour explorer ces possibilités. Le point P peut ensuite être doublé d'un point conditionnel, ce qui conduit à des tracés de lieux particuliers. Exemple 1 : Arc capable associé à un segment et un angle donnés. Il existe bien sûr diverses façon de représenter sur cabri l'arc capable associé à un angle et un segment donnés. Figure 1 (méthode lieu de lieu) Mesure d'une angle de 90° sur le repère de coordonnées. Insertion d'un nombre plus petit que 1 (ici 0,01) et multiplication de ce nombre par 90º ; on obtient l'incertitude Dangle (ici 0,90°) Tracé d'un segment AB avec un point courant M Mesures de AM, AB et calcul de angle = 2*(AM/AB)*90º Application de la macro locodrome.mac Démasquage du point p et tracé de la droite qp Mesure de l'angle (AMB) Report sur l'axe des x de diff = abs[angle - angle(AMB)] et de Dangle perpendiculaire à l'axe des x passant par le point associé avec (AMB) intersection de cette perpendiculaire avec le segment ODangle (on obtient ainsi un point conditionnel) Droite passant par le point conditionnel et le point P Intersection de cette droite avec la droite qp Lieu du point par rapport à q Lieu du lieu par rapport à P Figure 2 (méthode lieu + trace) On reprend la méthode précédente. Seul change le dernier point. Le lieu du point par rapport à q est mis en mode trace et l'on agit manuellement sur P (ou bien l'on place un ressort en P pour tracer l'arc. Figure 3 (méthode lieu) Il s'agit là d'une méthode de construction directe du lieu. On commence comme précédemment par le segment AB, le point courant M et la définition de l'angle. On construit ensuite le cercle de diamètre AB, puis le demi-cercle supérieur. On place un point courant N sur ce demi-cercle, auquel on applique une rotation de centre O et d'angle (angle = 39,33° sur l'exemple ci-dessus) La droite reliant le point obtenu N' à O coupe le demi-cercle en un point conditionnel N'*. On trace la droite ON'*, en A, la parallèle à ON, en B, la parallèle à ON'*. Le lieu de l'intersection P de ces deux droites par rapport au point courant N donne l'arc capable supérieur. Le lieu du symétrique P' de P par rapport à AB donne l'arc capable inférieur. recherchés. Exemple 2 : Courbe implicite Exemple tiré de Courbes et Surfaces de Jean Taillé (PUF / Que sais-je nº 564, p. 42-43). f(x, y) = (x2 + y2)3 - 6(x4 - y4) + 9(x2 + y2) - 4 = 0 Le principe est simple ; il consiste à : relever les coordonnées du point P défini par la macrocommande ; effectuer à la calculatrice l'opération correspondant à la fonction implicite f(x, y) ; créer un nombre qui fixera l'incertitude ; reporter sur l'axe des x ce nombre et lui associer un segment d'origine O ; reporter sur l'axe des x le résultat du calcul sur f(x, y) ; tracer une perpendiculaire à l'axe en ce point ; rechercher l'intersection de cette droite avec le segment (point conditionnel) ; et puis reprendre les quatre derniers points précisés plus haut dans l'exemple 1 (méthode lieu de lieu, Figure 1). La figure 4 ci-après est une image gif animée que l'on peut relancer sur le navigateur avec Actualiser.