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Remarque préalable Le triangle initial est appelé rvb (rouge, vert, bleu). Les notations évoluent, puisque ce triangle est ailleurs dénommé RVB. L'étude du triangle obtenu en prenant les symétriques d'un point quelconque M par rapport aux côtés rv, vb, br peut être ramenée à celle du triangle qui lui correspond dans une homothétie de centre M et de rapport ½ : il s'agit en définitive du triangle construit à partir des pieds Hb, Hr et Hv des perpendiculaires menées de M aux trois droites supports de rv, vb et br. C'est le triangle podaire de M qui apparaît ici. L'utilisation de ce triangle m'est venue à l'esprit, car je voulais diminuer le champ de la figure Cabri. J'avais eu, dans la première étude sur le triangle symétrico-latéral rectangle, un lieu (cercle) qui sortait de l'écran. Comme les angles se conservent par homothétie, il me semblait moins encombrant de travailler sur ce triangle podaire plutôt que sur le symétrico-latéral. (Quand j'ai fait ce travail, j'avais oublié d'ailleurs le terme de podaire... que m'a rappelé Martin Accosta dans un courriel.) Méthode utilisée On reporte dans le repère cartésien Pb, PQ (figure 1), sur la demi-droite perpendiculaire à l'axe des x en Hv, les mesures des longueurs des côtés du triangle HrHbHv. On recherche ensuite les lieux de ces points quand l'abscisse du point M varie (lieux par rapport au point M). Ces lieux se coupent deux à deux quand le triangle HrHbHv est isocèle. L'outil lieu de lieu de Cabri géomètre II Plus ayant tendance à bloquer l'ordinateur, on utilisera plutôt la fonction trace pour trouver le lieu des intersections quand l'ordonnée de M varie (déplacement du point Q). Sur la Figure 1 les lieux vert et rouge, par exemple, se coupent au point i. Reporté en m, ce dernier point donne avec l'outil trace l'un des cercles lieux du point M (cercle bleu). Dans la première étude sur le symétrico-latéral rectangle, la recherche se faisait au hasard. Ici c'est en quelque sorte un quadrillage (x,y) qui est utilisé pour explorer systématiquement le plan. Sur la figure 1 ont été représentés les trois cercles qui correspondent aux trois couples de triangles isocèles (HrHb = HbHv ; HrHb = HrHv ; HbHv = HrHv).  Figure 1 On positionne des points courants sur ces droites rv, vb et br et on ajuste les centres des cercles pour constater, surprise ! que les trois centres des cercles sont alignés. Pour trouver les positions exactes des centres, il faut trouver de nouvelles droites. En traçant (souvenir du premier problème : celui de l'angle droit) le cercle circonscrit à rvb et les tangentes en r, v et b, on trouve la solution (voir Figure 2). Nos trois cercles lieux se coupant en deux points, ils nous donnent la solution du triangle équilatéral : le lieu de M qui donne un triangle équilatéral par transformation est constitué de deux points, etc.  Figure 2 |