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et le barycentre G' de son triangle symétrico-latéral |
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Esquisse de recherche non complètement aboutie 1) La première idée consiste à lier le point M à une figure géométrique simple (segment, cercle, triangle) et à rechercher le lieu de G', barycentre du symétrico-latéral. Je constate que le segment donne un segment, le cercle, un cercle et le triangle équilatéral, un triangle équilatéral (voir Figures 1 et 2 pour les deux derniers cas). 2) Cela me fait penser à une similitude.  Figure 1  Figure 2 3) Je recherche alors un point double en utilisant la macrocommande locodrome.mac, associée à un lieu de lieu. Je trouve effectivement un point double ; reste à l'identifier. 4) J'essaye les quelques points suivants caractéristiques du triangle de base :
J'en serai resté là si je ne voyais apparaître dans un nouveau problème que m'avais posé Martin Acosta (le 9) le point de Lemoine. Et c'était le bon ! Sur la Figure 3 on constate en effet que ce point de Lemoine L est bien centré sur le lieu des points M correspondant à l'inégalité : Ce lieu a la forme d'une ellipse, orangée sur la figure.  Figure 3 5) Je travaille un temps sur la Figure 1, construis le centre du cercle image de celui que décrit M, recherche le rapport de similitude qui ne dépend pas de la position de m, mais uniquement du triangle de base et constate après divers bricolages que la médiatrice des points m et G' passe par L et est invariante (Figure 4) !  Figure 4 6) Je reviens au déplacement de M sur un segment (s), construis l'image t(s), ainsi que les vecteurs V = LM et t(V) = LG'. Le rapport de leur module est constant ; la bissectrice de leurs supports est bien invariante (Figure 5). Mais quelle est cette droite remarquable du triangle de base rvb ?  Figure 5 7) Sur le cas particulier du triangle rvb isocèle, la droite en question est parallèle à la base du triangle (Figure 6). Je n'ai rien trouvé de plus, à ce jour...  Figure 6 |