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Triangle symétrico-latéral et triangle de base perspectifs
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Deux triangles ABC et A'B'C' se correspondent dans une perspective de centre O lorsque les droites AA', BB' et CC' sont concourantes en O.

A/ Première approche

Comme dans les problèmes précédents, je cherche par tâtonnement la solution.

1. Au début j'essaie de confondre les 3 points d'intersection :

c ≡ AA' intersection BB'
a ≡ BB' intersection CC'
b ≡ CC' intersection AA'

2. Mais je constate rapidement que ces points sont souvent hors-champ.

3. Je décide alors de tracer le triangle abc, de mesurer son aire (faux) périmètre et de placer cette mesure dans le champ de l'écran. Cela me permet de continuer la recherche des points.

4. Assez vite je vois que la solution se compose de deux branches dont l'une est une boucle.

5. Je termine en ajustant des points complémentaires.

Construction perspectif 0


6. Je ne connais pas la courbe obtenue.

Elle n'a pas d'axe de symétrie comme le limaçon de Pascal, les ovales de Descartes… Pour trouver son degré, je quitte Cabri pour un calcul, d'abord sur le papier, puis à l'aide de Mapple.

J'apprendrais plus tard, par Martin Acosta, le nom de cette courbe : cubique de Neuberg.

cf. Eckart Schmidt Eine Anmerkung zur Neuberg-Kurve (www.eckart_schmidt.bei.t-online.de )
J.P.Ehrmann et B.Gibert Special Isocubics in the Triangle Plane (perso.wanadoo.fr/bernard.gibert )

Dans le cas particulier d'un triangle isocèle, elle dégénère en un cercle et une droite remarquables (voir ci-après).

Perspect 3a

Perspect3b

Perspect 4
B/ Étude analytique de la courbe

Le calcul est effectué dans un repère orthonormé.

- sommets du triangle de base : A(0,0) ; B(a,b) ; C(1,0)
- symétriques du point M par rapport à chacun des côtés pour obtenir les coordonnées de A', B' et C'
- équation des droites
AA' (y = a1x + b1)
BB' (y = a2x + b2)
CC' (y = a3x + b3)

- condition d'intersection unique de ces trois droites :

(b2 - b1)/(a1 - a2) - (b3 - b1)/(a1 - a3) = 0

Comme cela se complique, je passe à Maple

A(0,0) ; B(a,b) ; C(1,0)

1. Projection orthogonale de M sur la droite y = ux + v

Soit H (xh,yh) cette projection, N (0,v), l'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.
Le produit scalaire MH.NH est nul.
MH (xh - x, yh - y) ; NH (xh, yh - v)

(1)     xh(xh - x) + (yh - v)(yh - y) = 0
(2)     yh = uxh + v

(3)     xh = (x - uv + yu)/(1 + u2)
(4)     yh = (ux + yu2 + v)/(1 + u2)

2. Symétrique de M par rapport à la droite y = ux + v

Soit M' (x',y') ce point. xh = ½ (x + x') & yh = ½ (y + y')   d'où

(5)     x' = 2 xh - x
(6)     y' = 2yh - y

3. Application aux trois points A', B' et C'

droite AB      uc = b/a vc = 0
droite BC      ua = b/(a - 1) va = - b/(a - 1)
droite CA      ub = 0 vb = 0

(7)     xHC' = (a2x + aby)/(a2 + b2)
(8)     yHC' = (abx + b2y)/ (a2 + b2)
(9)     xHA' = ((a - 1)2x + (a - 1)by + b2)/(( a - 1)2 + b2)
(10)     yHA' = ((a - 1)bx + b2y - b(a - 1))/ ((a - 1)2 + b2)
(11)     xHB' = x
(12)     yHB' = 0
(13)     xC' = 2(a2x + aby)/(a2 + b2) - x
(14)     yC' = 2(abx + b2y)/ (a2 + b2) - y
(15)     xA' = 2((a - 1)2x + (a - 1)by + b2)/(( a - 1)2 + b2) - x
(16)     yA' = 2((a - 1)bx + b2y - b(a - 1))/ ((a - 1)2 + b2) - y
(17)     xB' = x
(18)     yB' = - y

4. Droites AA', BB' et CC' concourantes

AA'      y = a1x + b1
(19)     a1 = yA'/xA'
(20)     b1 = 0

BB'       y = a2x + b2
(21)     a2 = (yB' - b)/(xB' - a)
(22)     b2 = b - a2a

CC'       y = a3x + b3
(23)     a3 = yC'/(xC' - 1)
(24)     b3 = - a3

Condition (b2 - b1)/(a1 - a2) - (b3 - b1)/(a1 - a3) = 0

(25)     (b - ((yB' - b)/(xB' - a))a)( yA'/xA' - yC'/(xC' - 1)) + (yC'/(xC' - 1))(yA'/xA' - (yB' - b)/(xB' - a)) = 0

Le résultat final est l'équation :

x [ - 3a2 - b2 + 3b2a + 3a3 ]
+y [ b3 + ba2 - 2ba ]
+xy [ 2b (1 - a2 - b2) ]
+ x2 [ 3a (1 - b2 - a2) ]
+y2 [ a (1 - a2 - b2) ]
+ x2y [ b (2a - 1) ]
+xy2 [ b2 + 3a2 - 3a ]
+x3 [ b2 + 3a2 - 3a ]
+y3 [ b (2a - 1) ]         = 0
La courbe est une cubique.

Exemple : a = 0,85 ; b = 0,48

Perspect2


Dans le cas d'un triangle rectangle isocèle, elle se décompose en un cercle circonscrit au triangle de base et une droite, bissectrice de l'angle droit.

Deuxième approche

L'utilisation de la macro locodrome donne une apparoximation du lieu recherché.

Dans l'exemple qui suit (gif animé), le coefficient e varie de 2 à 0,1, ce qui permet d'affiner la forme du lieu.

Perspective A