Macro-commande Bézier 4

Cette macro-commande remplace d'une certaine façon les trois macros définies plus haut (cf. 8). Elle s'apparente à la méthode de Hermite (cf. 6 &, 7) mais s'en différentie car elle utilise un arc de parabole et non pas de cubique. A. Principe de la construction On se donne 4 points : 1, 2, 3 et 4. En 2 on trace la parallèle au segment 13 et en 3, la parallèle au segment 24. Ces deux droites se coupent en s. Il suffit alors de construire la courbe de Bézier définie par les points 2, s et 3 en appliquant, éventuellement, une macro déjà existante. À la différence de la macro Bezier1, j'ai choisi ici une méthode purement géométrique de construction du point R qui génère l'arc de Bézier : c'est du Thalès à répétition, illustré par la gif animée suivante. Les points ABC correspondent à 2,s et 3. B. La macro succintement commentée On rappelle que chaque élément géométrique est numéroté, dans l'ordre de son apparition. Dans ce qui suit, les lignes des fichiers texte consacrées aux icônes, et qui ne présentaient pas d'intérêt pour l'analyse de la construction, ont été supprimées. Macro Cabri II Plus vers. MS-Windows 1.2.5 Bézier4, no name Help: " Pointer 4 points " Mth: 0 CN:4, ON:19, FN:5, PO:5 CT: point, CS 0, color:B, thicker, point, CS 0, color:B, thicker, point, CS 0, color:B, thicker, point, CS 0, color:B, thicker, ce sont les quatre points 1, 2, 3 et 4 Const: Seg, Mth:0, 0, CN:2, VN:2, Const: 1 3 Seg, Mth:0, 0, CN:2, VN:2, Const: 2 4 Par, Mth:0, 0, CN:2, VN:4, Const: 2 5 Par, Mth:0, 0, CN:2, VN:4, Const: 3 6 construction à partir des segments 13 et 24 des parallèles en 2 et 3 Int, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 7 8, color:B, les intersections de ces droites donnent le point s Seg, Mth:0, 1, CN:2, VN:2, Const: 2 3, color:B, segment 2s Pt/, Mth:0, 0, CN:1, VN:2, Const: 7 point M, courant sur le segment 2s Par, Mth:0, 0, CN:2, VN:4, Const: 11 8 Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 10 12 Par, Mth:0, 0, CN:2, VN:4, Const: 13 7 Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 8 14 Seg, Mth:0, 0, CN:2, VN:2, Const: 15 11 Seg, Mth:0, 0, CN:2, VN:2, Const: 11 3 Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 17 14 Par, Mth:0, 0, CN:2, VN:4, Const: 18 8 Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 16 19 constructions de Thalès, à répétition (voir gif animée) Locus, Mth:0, 1, CN:2, VN:12, lk pts, locus, nb pts: 12, Const: 11 20, thicker, tracé de l'arc de Bézier ; le nombre de points (12), peut être augmenté Seg, Mth:0, 1, CN:2, VN:2, Const: 2 9, color:B, Seg, Mth:0, 1, CN:2, VN:2, Const: 9 3, color:B, fin du tracé du triangle reliant les trois points de l'arc de Bézier C. Exemples La macro-commande permet, par exemple, de tracer des boucles de Bézier en 4 points (notés 1, 2, 3 et 4). Il suffit de l'appliquer successivement à : 1234, 2341, 3412 et 4123 La boucle est inscrite dans un parallélogramme stuv. Il est également possible de relier les sommets (4 au moins) d'un polygone régulier ou non. Voir ci-après l'exemple d'un hexagone. Le calcul de la variation relative de rayon entre le cercle dans lequel le polygone est inscrit et la courbe des arcs de Bézier donne : [(R/2)(1/cos30 + cos30) - R]/R = (7Racine(3) - 12)/12 = 0,0104 soit environ 1%. Ce que l'on vérifie sur Cabri (figure suivante). La théorie générale donne, en notant a l'angle au centre du cercle qui délimite un demi-côté du polygone, des variations relatives de flèche (vrf) et de rayon (vrr): [1]    vrf = (1 - cosa)/(2 cosa) [2]    vrr = (1 - cosa) vrf Pour un polygone régulier de N côtés, a = p / N. Quand N est grand, on peut approximer les deux expressions par : [3]    vrf = a2/4 [4]    vrr = a4/8. La solution du problème posé plus haut (cf. MacroBezier 1, 2 & 3) est dans la formule [2]. D. Comparaison Hermite / Bézier En appliquant aux mêmes quatre points les macro-commandes Hermite.mac et Bezier4.mac on obtient un arc de courbe de degré 3 (en bleu sur le schéma ci-dessous) et un arc de degré 2 (en rouge). L'épaisseur de l'arc de Bézier a été affinée pour permettre une meilleure comparaison. Question : Quel est le lieu des points 4, tels que l'arc de Hermite devienne infini ? Je donnerai une solution (du pur Cabri) prochainement.