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Macro Tangente_Point_a_Ellipse
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La construction de Huygens traitée précédemment a nécessité la construction d'une tangente menée d'un point à une ellipse.

Voilà comment j'ai procédé pour résoudre ce problème.

→ La première macrocommande a été obtenue par tâtonnements.
     Elle est adaptée à une ellipse définie par 5 points.

→ La seconde est inspirée de la solution donnée par D.Lehmann et R.Bkouche dans :
     Initiation à la géométrie édité aux Presses Universitaires de France en 1988 (page 79).
     Elle suppose que les axes de l'ellipse sont connus. C'est celle qui a été choisie.

A. Première méthode : Intersection de deux ellipses homothétiques

L'idée de départ est d'utiliser les points qui définissent l'ellipse sur Cabri.

Soit l'ellipse (S) définie par les 5 points A, B, C, D, E, et M le point extérieur.

  • On trace les 5 demi-droites MA, MB, MC, MD, ME.
  • Puis l'on recherche leurs intersections avec l'ellipse.
    Elles sont respectivement notées a, b, c, d, e.
  • On prend ensuite les milieux des 5 cordes : A', milieu de Aa, etc.
  • Et l'on trace l'ellipse (S') définie par ces 5 points A', B', C', D', E'.
  • Elle coupe l'ellipse initiale (S) en T1 et T2.
tangentes menées d'un point à une ellipse_1

Description du fichier tangentes_point_a_ellipse.mac

Macro Cabri II Plus vers. MS-Windows 1.2.5

tangentes_point_a_ellipse, no name
Help:
"ellipse, point"
Mth: 0
CN:2, ON:20, FN:10, PO:15
CT:
conic, CS 5, color:R,
les points définissant l'ellipse (A, B, C, D, E) sont numérotés de 1 à 5, dans l'ordre où ils ont été créés ;
la conique est représentées par le numéro 6
point, CS 0, color:Bl,
le point M à l'extérieur de l'ellipse est numéroté 7
Const:
Ray, Mth:1, 0, CN:2, VN:3, Const: 7 1    demi-droite MA
Ray, Mth:1, 0, CN:2, VN:3, Const: 7 2    demi-droite MB
Ray, Mth:1, 0, CN:2, VN:3, Const: 7 3    demi-droite MC
Ray, Mth:1, 0, CN:2, VN:3, Const: 7 4    demi-droite MD
Ray, Mth:1, 0, CN:2, VN:3, Const: 7 5    demi-droite ME
Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 8 6    a = intersection MA, ellipse
Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 9 6    b= intersection MB, ellipse
Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 10 6    c = intersection MC, ellipse
Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 11 6    d = intersection MD, ellipse
Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 12 6    e = intersection ME, ellipse
Mid, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, Const: 1 13, invisible,    A' = milieu de Aa
Mid, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, Const: 2 14, invisible,    B' = milieu de Bb
Mid, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, Const: 3 15, invisible,    C' = milieu de Cc
Mid, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, Const: 4 16, invisible,    D' = milieu de Dd
Mid, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, Const: 5 17, invisible,    E' = milieu de Ee
Con, Mth:0, 1, CN:5, VN:11, Const: 18 19 20 21 22, default settings,    conique passant par A', B', C', D', E'
Int, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 23 6, color:Bl,
Int, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, int ind:0x10000, Const: 23 6, color:Bl,
Intersections des deux ellipses (points T1 et T2)
Seg, Mth:0, 1, CN:2, VN:2, Const: 7 24, color:Bl,
Seg, Mth:0, 1, CN:2, VN:2, Const: 7 25, color:Bl,
tangentes MT1 et MT2

L'ellipse (S') a 4 propriétés remarquables :
  1. Elle passe par M.
  2. Elle passe par le centre O de (S).
  3. Elle est homothétique de l'ellipse S.
  4. MT1 et MT2 sont les tangentes à l'ellipse (S).
L'homothétie qui permet de passer de (S) à (S') a pour centre H et pour rapport k, tels que :

H est le conjugué harmonique de U par rapport à OM 1/OH = 2/OM - 1/OU = 2/OM - 2/TU
k = OM/TU (quotient des deux diamètres des ellipses alignés avec M)

Homothétie Ellipses


Remarque

Le centre O de l'ellipse (S) a été obtenu avec une macrocommande résumée sur la figure ci-après.

Macro CentreEllipse


B. Deuxième méthode : Application de l'affinité

La construction qui a servi de point de départ (voir référence plus haut) a été modifiée, car elle ne convenait pas pour les points M situés sur un axe de l'ellipse.

L'analyse de la macrocommande est explicitée ci-après.

On pourra télécharger le fichier et suivre pas à pas les différentes étapes de la construction (Édition / Revoir la construction...)

Tangente point à ellipse 2

Tangente point à ellipse 3


Remarque :

Pour tester la validité de la macrocommande, quelle que soit la position du point M (en particulier quand il est sur les axes de l'ellipse), il a été asujetti, dans la figure suivante, à rester sur un polygone particulier.



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