La construction de Huygens traitée précédemment a nécessité la construction d'une tangente menée d'un point à une ellipse. Voilà comment j'ai procédé pour résoudre ce problème. → La première macrocommande a été obtenue par tâtonnements. Elle est adaptée à une ellipse définie par 5 points. → La seconde est inspirée de la solution donnée par D.Lehmann et R.Bkouche dans : Initiation à la géométrie édité aux Presses Universitaires de France en 1988 (page 79). Elle suppose que les axes de l'ellipse sont connus. C'est celle qui a été choisie. A. Première méthode : Intersection de deux ellipses homothétiques L'idée de départ est d'utiliser les points qui définissent l'ellipse sur Cabri. Soit l'ellipse (S) définie par les 5 points A, B, C, D, E, et M le point extérieur.
Description du fichier tangentes_point_a_ellipse.mac Macro Cabri II Plus vers. MS-Windows 1.2.5 tangentes_point_a_ellipse, no name Help: "ellipse, point" Mth: 0 CN:2, ON:20, FN:10, PO:15 CT: conic, CS 5, color:R, les points définissant l'ellipse (A, B, C, D, E) sont numérotés de 1 à 5, dans l'ordre où ils ont été créés ; la conique est représentées par le numéro 6 point, CS 0, color:Bl, le point M à l'extérieur de l'ellipse est numéroté 7 Const: Ray, Mth:1, 0, CN:2, VN:3, Const: 7 1 demi-droite MA Ray, Mth:1, 0, CN:2, VN:3, Const: 7 2 demi-droite MB Ray, Mth:1, 0, CN:2, VN:3, Const: 7 3 demi-droite MC Ray, Mth:1, 0, CN:2, VN:3, Const: 7 4 demi-droite MD Ray, Mth:1, 0, CN:2, VN:3, Const: 7 5 demi-droite ME Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 8 6 a = intersection MA, ellipse Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 9 6 b= intersection MB, ellipse Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 10 6 c = intersection MC, ellipse Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 11 6 d = intersection MD, ellipse Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 12 6 e = intersection ME, ellipse Mid, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, Const: 1 13, invisible, A' = milieu de Aa Mid, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, Const: 2 14, invisible, B' = milieu de Bb Mid, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, Const: 3 15, invisible, C' = milieu de Cc Mid, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, Const: 4 16, invisible, D' = milieu de Dd Mid, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, Const: 5 17, invisible, E' = milieu de Ee Con, Mth:0, 1, CN:5, VN:11, Const: 18 19 20 21 22, default settings, conique passant par A', B', C', D', E' Int, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 23 6, color:Bl, Int, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, int ind:0x10000, Const: 23 6, color:Bl, Intersections des deux ellipses (points T1 et T2) Seg, Mth:0, 1, CN:2, VN:2, Const: 7 24, color:Bl, Seg, Mth:0, 1, CN:2, VN:2, Const: 7 25, color:Bl, tangentes MT1 et MT2 L'ellipse (S') a 4 propriétés remarquables :
H est le conjugué harmonique de U par rapport à OM 1/OH = 2/OM - 1/OU = 2/OM - 2/TU k = OM/TU (quotient des deux diamètres des ellipses alignés avec M) Remarque Le centre O de l'ellipse (S) a été obtenu avec une macrocommande résumée sur la figure ci-après. B. Deuxième méthode : Application de l'affinité La construction qui a servi de point de départ (voir référence plus haut) a été modifiée, car elle ne convenait pas pour les points M situés sur un axe de l'ellipse. L'analyse de la macrocommande est explicitée ci-après. On pourra télécharger le fichier et suivre pas à pas les différentes étapes de la construction (Édition / Revoir la construction...) Remarque : Pour tester la validité de la macrocommande, quelle que soit la position du point M (en particulier quand il est sur les axes de l'ellipse), il a été asujetti, dans la figure suivante, à rester sur un polygone particulier. |