Un problème d'œil et de cercle oculaire

Ceux qui ne sont intéressés que par les questions proprement mathématiques des intersections de cercles et d'ellipses pourront passer directement au B.

La grande majorité des livres d'Optique géométrique, lorsqu'ils abordent la question des instruments visuels comportant un oculaire (microscope, lunette astronomique,...), indiquent que l'œil de l'observateur – ou plus précisément la pupille d'entrée de cet œil, c'est-à-dire le conjugué objet de l'ouverture de l'iris à travers la cornée – doit être placé dans le plan du cercle oculaire (conjugué image du diaphragme d'ouverture de l'instrument à travers tous les composant optiques qui lui succèdent).

Il faut bien sûr que le plan du cercle oculaire soit réel (situé après la dernière lentille de l'oculaire) et suffisamment éloigné pour que l'œil puisse se positionner sans aucune gêne.

Le pédagogue, pour imager cette condition, pourra assimiler le cercle oculaire à un trou de serrure, et expliquer que, si l'on souhaite voir se qui se passe dans une pièce, avec le maximum de champ, il suffit de coller son œil à ce trou de serrure. Par analogie, pour un instrument visuel, il faut, si l'on veut bénéficier de la totalité du champ instrumental, placer son œil au cercle oculaire.

Une lecture, il y a plusieurs années, du vieux livre de H.Pariselle « Les Instruments d'Optique », édité chez Armand Colin en 1935 (dans la Collection Armand Colin, Section de Physique : une remarquable série de livres de poche, avant l'heure) avait créé en moi le doute, car il y était dit que c'était en réalité le centre de rotation de l'œil qu'il fallait placer dans le plan du cercle oculaire. Comme ce centre de rotation est à environ 12 mm au-delà de la pupille d'entrée, celle-ci devrait être placée 12 mm en avant du cercle oculaire, ce qui est, à l'échelle de l'œil, une distance non négligeable.

A. Œil et champs d'un instrument d'optique

L'exemple traité est celui d'une lunette astronomique afocale, dite lunette de Kepler. Le cas du microscope utilisé par un emmétrope n'accommodant pas (avec donc une image instrumentale à l'infini) se traiterait de la même manière.

Pour une image instrumentale à distance finie, la projection parallèle effectuée dans l'espace image de l'instrument sera remplacée par une projection conique.

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La lunette astronomique afocale peut être simplement modélisée par deux lentilles minces convergentes. La première L₁, de grande focale, représente l'objectif (composant du côté de l'objet), la seconde L₂, l'oculaire (composant du côté de l'œil). Le foyer principal image de l'objectif coïncide avec le foyer principal objet de l'oculaire ; l'image instrumentale d'un point objet à l'infini est donc aussi à l'infini.

Le grossissement de la lunette est, par définition, égal au quotient de l'angle sous lequel est vue l'image instrumentale et de l'angle sous lequel l'objet serait vu à lœil nu. On peut en déduire que G = f'_ob/f'_oc.

Par exemple, f'_ob = 400 mm et f'_oc = 25 mm → G = 400/25 = 16.
La pleine lune, de diamètre apparent 0,5°, donnera une image de diamètre apparent 0,5×8 = 4°.

1) B A BA sur les champs d'une lunette de Kepler

Le champ objet d'une lunette astronomique est l'ensemble des points objets qui donnent une image à travers la lunette.
Pour qu'un point donne une image il faut qu'au moins un rayon issu de ce point traverse successivement l'objectif, puis l'oculaire.
Le point A, à l'infini dans la direction de l'axe, est associé à un faisceau de rayons parallèles à l'axe optique de la lunette (axe optique commun aux deux lentilles).
On appelle faisceau utile l'ensemble des rayons issus de A qui traversent la lunette.
L'ouverture du faisceau utile est définie par le diaphragme d'ouverture (l'objectif dans une lunette).
Le conjugué du diaphragme d'ouverture dans l'espace image de l'instrument est appelé pupille de sortie, mais également, pour les instruments d'optique visuels, cercle oculaire (anciennement anneau oculaire).
Pour un point B situé à l'infini dans une direction oblique, paramétrée dans le plan méridien de représentation par l'inclinaison q, le faisceau utile associé est constitué par l'ensemble des rayons de même inclinaison q (faisceau parallèle oblique) qui traversent la lunette.
Le champ objet de pleine lumière est constitué par l'ensemble des points objets dont les faisceaux utiles s'appuient sur la totalité du diaphragme d'ouverture.
La limite du champ total est délimitée par les points objets dont le faisceau utile se réduit à un seul rayon.
Les champs objets de la lunette, de pleine lumière et total, sont définis angulairement par leurs diamètres apparents 2w_PL et 2w_T.
De la même façon, les champs images sont définis par les diamètres apparents 2w'_PL et 2w'_T.
Le passage des champs objets aux champs images se fait par l'intermédiaire du grossissement G (on fera intervenir communément le rapport des tangentes : G = f'_ob/f'_oc = tanw'/tanw).
Les champs images peuvent être déterminés graphiquement en considérant la lentille L₂ (diaphragme de champ) et le cercle oculaire L'₁, et en traçant deux rayons passant par un même point d'un bord de L₂ et les deux points diamétralement opposés au bord de L'₁.
Les inclinaisons de ces rayons par rapport à l'axe optique donnent alors w'_T et w'_PL (w'_T > w'_PL).

2) Champs statiques et champs dynamiques

Une lunette ne fonctionne pas toute seule. Il faut lui adjoindre un observateur, ou plus précisément l'œil d'un observateur. Or cet œil est un instrument d'optique spécifique, avec son diaphragme d'ouverture (l'iris) et sa pupille d'entrée (le conjugué objet de l'iris à travers la cornée). Il est donc nécessaire de prendre en compte ce troisième diaphragme lorsque l'on étudie les champs du système lunette + œil.

De façon classique, la pupille d'entrée de l'œil, qui appartient à l'espace image de la lunette et joue le rôle de troisième diaphragme, est représentée centrée avec les deux autres diaphragmes. Tout se passe donc comme si l'œil regardait dans la direction de l'axe optique, c'est-à-dire au centre du champ. L'image rétinienne de ce centre tombe alors sur la fovéa qui, sur la rétine, est la zone de vision précise (là où la résolution est la plus élevée).

Au-delà de la fovéa, qui est associée dans l'espace objet de l'œil à un angle d'environ 1 degré, la résolution chute très rapidement avec l'angle, comme le montre la courbe suivante qui représente la variation d'acuité sur un méridien passant par le centre de la fovéa et la tache aveugle (départ du nerf optique, où l'absence de cellules receptrices se traduit par ne résolution nulle).

acuité_rétine

Ainsi, pour des angles de 10 et 20 degrés, l'acuité (grandeur proche de la résolution) diminue d'un facteur 5 et 10 (flèches rouges).

Le champ total image d'un instrument visuel dépasse facilement la vingtaine de degrés. Pour utiliser sa périphérie trois possibilités s'offrent :

conserver la direction de regard selon l'axe de la lunette et utiliser la rétine périphérique : mais alors, comme l'acuité dégringole très vite, les détails de l'image s'estompent d'autant plus qu'ils sont décentrés dans le champ ;
recentrer la partie de l'image qui est au bord du champ en faisant tourner la lunette autour d'un axe perpendiculaire à son axe optique : l'observateur doit tourner la tête et son œil pour se repositionner correctement ;
tourner l'œil de façon à ce que le bord du champ donne une image sur la fovéa.

En excluant la première solution, c'est la troisième qui est la plus appropriée, parce que c'est la plus naturelle. La seconde nécessite de déplacer constamment l'instrument (il doit donc être léger et très maniable), et n'a d'intérêt que si l'optique est de mauvaise qualité, avec des aberrations périphériques importantes (cela arrive parfois pour le chromatisme).

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À partir de ces remarques on peut envisager deux manières d'aborder les champs d'un instrument visuel avec oculaire :

statique : les champs sont définis à partir de 3 diaphragmes centrés ; pour l'espace image de l'instrument, il s'agira de la lucarne de sortie, de la pupille de sortie (ou cercle oculaire) et de la pupille d'entrée de l'œil.
On considère les faisceaux images d'inclinaison variable qui traversent les trois diaphragmes.
dynamique : les champs sont définis à partir de 2 diaphragmes centrés (lucarne et pupille de sortie de l'instrument) et d'un diaphragme tournant (pupille d'entrée de l'œil).
On ne prend en compte, pour un œil non accommodé, que les rayons passant par le Remotum. Dans le cas traité qui est celui de l'emmétrope, le Remotum est rejeté à l'infini et les rayons sont perpendiculaires à la pupille d'entrée de l'œil.

B. Macrocommandes

1) Projection parallèle

On traite le cas particulier suivant :

Soit un ensemble de diaphragmes circulaires dont les centres appartiennent à un même plan (P), plan de symétrie pour les diaphragmes. Il s'agit de projeter ces diaphragmes, selon une direction (D) parallèle à (P), sur un plan (Q) perpendiculaire à (P).

Les différentes étapes de la macrocommande peuvent être suivies en faisant Édition / Revoir la construction dans Cabri Géomètre, avec le fichier ProjectionParalleleCercle.fig, inclus dans le fichier ChampsStatDyn.zip (voir Téléchargements à la fin de Cabri Cabrac).

Le détail de la macro est donné ci-après.

ProjectionParalleleCercle, no name

Help:
"segment, droite (plan de projection), droite (direction de projection)"
Mth: 0
CN:3, ON:24, FN:6, PO:23
CT:
segment, CS 2, default settings,
line, CS 1, default settings,
line, CS 1, default settings,
Const:
Mid, Mth:1, 0, CN:1, VN:1, Const: 3
Par, Mth:0, 0, CN:2, VN:4, Const: 8 5
Perp, Mth:0, 0, CN:2, VN:4, Const: 8 9
Cir, Mth:1, 0, CN:2, VN:2, Const: 8 1
Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 10 11
Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0x10000, Const: 10 11
Par, Mth:0, 0, CN:2, VN:4, Const: 1 7
Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 14 9
Sym, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, Const: 15 8
Par, Mth:0, 0, CN:2, VN:4, Const: 15 10
Par, Mth:0, 0, CN:2, VN:4, Const: 13 9
Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 17 18
Mid, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, Const: 8 13
Mid, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, Const: 13 19
Seg, Mth:0, 0, CN:2, VN:2, Const: 19 20
Seg, Mth:0, 0, CN:2, VN:2, Const: 15 21
Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 22 23
Int, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 5 14, default settings,
Vec, Mth:0, 0, CN:2, VN:2, Const: 15 25
Tran, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, Const: 13 26, default settings,
Tran, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, Const: 24 26, default settings,
Tran, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, Const: 12 26, default settings,
Tran, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, Const: 16 26, default settings,
Con, Mth:0, 1, CN:5, VN:11, Const: 27 28 25 29 30, default settings,

2) Point sur ou dans un cercle

La position d'un point par rapport à une courbe fermée – le cas classique étant celui du cercle – peut être abordé de multiples façons et les utilisateurs de Cabri ont certainement développé diverses solutions. L'idée que j'ai appliquée il y a quelques années, pour le cercle, consistait à utiliser l'inversion et créer un point conditionnel :
si un point M est à l'intérieur du cercle, son inverse M' est à l'extérieur, et le segment M'C coupe le cercle en P ; dans le cas contraire, M' est à l'intérieur du cercle, et le point P n'existe pas (voir MacroInterDisk et suite).

Cette méthode semble très bien adaptée à Cabri, mais là où le bât blesse, c'est lorsque M est en C, ou bien sur le cercle.

Que serait la géométrie, si les cas particuliers n'existaient pas ?

J'ai donc changé radicalement de méthode en me disant qu'après tout, Cabri Géomètre c'est fondamentalement du calcul. Derrière l'écran, il y a en effet toujours des opérations qui s'effectuent : prise de coordonnées, application de formules diverses et variées, d'algorithmes plus ou moins labyrinthueux, etc. Et puis Cabri donne aussi dans ses outils une calculatrice avec les fonctions classiques.

La nouvelle méthode consiste simplement à comparer le rayon du cercle à la distance qui sépare le point du centre du cercle.

Hors0Sur1Dans1Cercle, no name

Help:
"point, cercle"
Mth: 0
CN:2, ON:5, FN:1, PO:4
CT:
point, CS 0, default settings,
circle, CS 1, default settings,
Const:
Lgth, Mth:1, 0, CN:2, VN:1, Const: 1 2
Mesure de la distance point-centre du cercle : MC
Lgth, Mth:1, 0, CN:2, VN:1, Const: 2 3
Mesure du rayon du cercle :R
Formula, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, Const: 5 4, formula: a-b
Calcul de R - MC
Formula, Mth:0, 0, CN:1, VN:1, Const: 6, formula: sign(a)+(1+sign(a))*(1-sign(a))
Fonction sign2(x) : égale à -1, si x est négatif, à +1, si x est nul ou positif ; elle donne ici -1, si le point est à l'extérieur du cercle, +1 s'il est sur le cercle ou à l'intérieur de celui-ci.
Formula, Mth:0, 1, CN:1, VN:1, Const: 7, default settings, , formula: (1+a)/2
On obtient par cette formule 0, pour le point extérieur, et + 1 point le point sur ou intérieur.

Remarques

Pour la fonction sign2(x), voir également MacroAngle360deg.
Pour faire plus compact, en regroupant les formules, la macro pourrait être modifiée ainsi :

... CN:2, ON:3, FN:1, PO:4
la valeur de PO est indifférente
CT:
point, CS 0, default settings,
circle, CS 1, default settings,
Const:
Lgth, Mth:1, 0, CN:2, VN:1, Const: 1 2
Lgth, Mth:1, 0, CN:2, VN:1, Const: 2 3
Formula, Mth:0, 1, CN:2, VN:1, Const: 5 4, default settings, formula: (2+sign(a-b)-sign(a-b)^2)/2

3) Point sur ou dans une ellipse

La procédure est la suivante :

Détermination du centre C de l'ellipse.
Construction d'un repère orthonormé de centre C et d'axes parallèles aux axes du repère principal.
Recherche de l'équation de l'ellipse dans ce repère : f(x,y) = 0.
Cette équation est de la forme ax² + bxy + cy² - 1 = 0 ; trois points suffisent pour calculer les coefficients a, b et c.
Les points les plus commodes sont obtenus pour x = 0, y = 0 et x = y.
Position de M par rapport à l'ellipse : signe de f(x_M, y_M).

Hors0Sur1Dans1Ellipse, no name

Help:
"point, ellipse, axes"
Mth: 0
CN:3, ON:39, FN:1, PO:38
CT:
point, CS 0, default settings,
coordinate system, CS 1, default settings,
conic, CS 5, default settings,
Const:
Eq/Co, Mth:0, 0, CN:2, VN:3, X2PXYPY2EG0, cart, Const: 4 3
Formula, Mth:0, 0, CN:1, VN:1, Const: 10, formula: abs(a)
Formula, Mth:0, 0, CN:1, VN:1, Const: 11, formula: sign(a)+(1+sign(a))*(1-sign(a))
Il s'agit de fabriquer le nombre 1 (pour ne pas l'ajouter aux trois éléments désignés pour effectuer la macro), nombre qui servira plus loin dans la construction du repère associé à l'ellipse :
la méthode (un peu alambiquée ; il y aurait plus simple ici en mesurant la distance entre deux points de l'ellipse, nécessairement distincts, et en divisant cette valeur par elle-même) consiste à relever les coordonnées, dans le repère désigné dans les objets initiaux, d'un point existant (ici le premier point de l'ellipse) ; on prend ensuite la valeur absolue de l'une de ces coordonnées, l'abscisse par exemple, dont on cherche le signe (0 ou 1) ; on applique enfin la fonction sign2 précisée plus haut...ouf!!!
Seg, Mth:0, 0, CN:2, VN:2, Const: 4 5
Seg, Mth:0, 0, CN:2, VN:2, Const: 5 6
Par, Mth:0, 0, CN:2, VN:4, Const: 6 13
Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0x10000, Const: 15 9
Mid, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, Const: 6 16
Mid, Mth:1, 0, CN:1, VN:1, Const: 13
Par, Mth:0, 0, CN:2, VN:4, Const: 4 14
Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 19 9
Mid, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, Const: 4 20
Mid, Mth:1, 0, CN:1, VN:1, Const: 14
Line, Mth:1, 0, CN:2, VN:4, Const: 18 17
Line, Mth:1, 0, CN:2, VN:4, Const: 22 21
Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 23 24
Recherche du centre de l'ellipse : en utilisant trois points parmi les cinq qui définissent l'ellipse, on définit deux couples de cordes parallèles entre elles ; les droites des milieux de ces cordes se coupent en C.
Perp, Mth:0, 0, CN:2, VN:4, axis:x, Const: 25 3
Perp, Mth:0, 0, CN:2, VN:4, axis:y, Const: 25 3
Transf, Mth:2, 0, CN:2, VN:1, Const: 25 12
Cir, Mth:1, 0, CN:2, VN:2, Const: 25 28
Cercle de rayon unité passant par le centre de l'ellipse : c'est là que l'on récupère le 1 calculé au début.
Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0, Const: 27 29
Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0x10000, Const: 26 29
Axes, Mth:1, 0, CN:3, VN:3, cart, Const: 25 30 31
Création d'un repère orthonormé de centre le centre de l'ellipse.
Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0x10000, Const: 32 9
Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0x10001, Const: 32 9
Intersections des axes de ce repère avec l'ellipse.
Biss, Mth:0, 0, CN:3, VN:4, Const: 33 25 34
Int, Mth:0, 0, CN:2, VN:1, int ind:0x10000, Const: 35 9
Intersection de la bissectrice des axes avec l'ellipse.
Eq/Co, Mth:0, 0, CN:2, VN:3, X2PXYPY2EG0, cart, Const: 33 32
Eq/Co, Mth:0, 0, CN:2, VN:3, X2A2PY2B2EG1, cart, Const: 34 32
Eq/Co, Mth:0, 0, CN:2, VN:3, X2PXYPY2EG0, cart, Const: 36 32
Coordonnées des trois points précédents dans le nouveau repère.
Formula, Mth:0, 0, CN:1, VN:1, Const: 38, formula: 1/a^2
Formula, Mth:0, 0, CN:1, VN:1, Const: 37, formula: 1/a^2
Formula, Mth:0, 0, CN:1, VN:1, Const: 39, formula: 1/a^2
Formula, Mth:0, 0, CN:3, VN:1, Const: 42 40 41, formula: a-b-c
Coefficients définissants l'équation de l'ellipse dans le nouveau repère.
Eq/Co, Mth:0, 0, CN:2, VN:3, X2A2PY2B2EG1, cart, Const: 1 32
Eq/Co, Mth:0, 0, CN:2, VN:3, X2PXYPY2EG0, cart, Const: 1 32
Coordonnées du point M dans le nouveau repère.
Formula, Mth:0, 0, CN:5, VN:1, Const: 41 45 43 44 40, formula: 1-(a*b^2+c*b*d+e*d^2)
Formula, Mth:0, 0, CN:1, VN:1, Const: 46, formula: sign(a)+(1+sign(a))*(1-sign(a))
Formula, Mth:0, 1, CN:1, VN:1, Const: 47, default settings, , formula: (1+a)/2
Position de M paramétrée par 0 ou 1.

4) Application à l'intersection de plusieurs ellipses

Soit 5 ellipses, pour prendre un exemple. On recherche leur intersection. Pour cela :

On commence par déterminer le centre C de l'une d'entre elles (voir macro centre_d_une_ellipse).
On définit ensuite un point courant sur l'ellipse M, et un point courant m sur le rayon CM.
On applique la macro précédente Hors0Sur1Dans1Ellipse au point m et aux 4 ellipses restantes ; cela donne 4 nombres (0 ou 1) que l'on multiplie entre eux. Quand ce produit k est égal à 1, m appartient aux 5 ellipses ; s'il est égal à 0, il est extérieur à au moins l'une d'entre elles.
On cherche l'homothétique m' de m, par rapport à C, dans le rapport k.
On construit enfin le lieu de m', par rapport à M, puis le lieu de ce lieu, par rapport à m.

C. Application au problème du cercle oculaire

Soit une lunette de Kepler afocale, mise au point à l'infini. Elle donne, d'un point objet à l'infini, une image à l'infini à laquelle est associé un faisceau parallèle. L'ouverture de ce faisceau est définie par la pupille de sortie de la lunette, c'est-à-dire par le cercle oculaire. Il s'agit de déterminer l'ensemble des rayons de ce faisceau qui pénètrent dans l'oeil de l'observateur.

Pour celà, on effectue une projection parallèle de la lucarne de sortie L₂ et du cercle oculaire L'₁ dans le plan de la pupille d'entrée de l'oeil Pe, et l'on recherche la partie commune à L₂*, L'₁* et Pe (où L₂* et L'₁* sont les projections).

La direction de projection est réglée par le déplacement d'un point sur un arc de cercle.

On peut modifier divers paramètres (voir points creux sur la figure ci-après).

Attention ! Le Plug-in Cabri est nécessaire pour la visualisation des deux exemples suivants.

Champs statiques et champs dynamiques 1

Dans l'étude dynamique des champs (en haut sur la figure), on ne prend en compte que les rayons qui sont perpendiculaires au plan de la pupille de l'œil et sont focalisés sur la fovéa. L'œil tourne avec la direction de projection. L₂* et L'₁* sont des ellipses.

Dans l'étude statique (en bas sur la figure), les trois diaphragmes sont fixes et appartiennent à des plans parallèles entre eux. L₂* et L'₁* sont des cercles.

Les deux animations ci-après montrent, pour les deux positions remarquables de l'œil, les variations d'éclairement de sa pupille d'entrée, variations proportionnelles à l'aire éclairée.

On peut, en stoppant les animations, agir directement sur l'inclinaison des rayons à la sortie de la lunette (cliquer-glisser sur le point qui décrit l'arc de cercle) et sur le domainbe de variation de l'angle de champ image (point creux à l'extrémité supérieure de l'arc).

Attention !

Le Plug-in Cabri est nécessaire pour la visualisation des deux exemples suivants.

Pupille d'entrée de l'œil au cercle oculaire

Centre de rotation de l'œil au cercle oculaire